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J. Korean Soc. Hazard Mitig. > Volume 17(6); 2017 > Article
지표면과 지중의 연계된 흐름에 대한 수치해석

Abstract

Surface runoff and subsurface infiltration are fully coupled processes from the hydraulic point of view and should be analyzed simultaneously. Most of the existing hydraulic analyses fail to take into account the interactions between the ground infiltration and the surface runoff, and ignore the interaction of the two phenomena by assuming that one part is constant or using empirical formulas. In this study, the governing equations for the surface runoff are presented with numerical formulations to improve numerical stability. Also, a modified governing equation for the hydrological phenomena in unsaturated soils is presented to consider ground infiltration due to rainfall. Numerical analysis on ground infiltration and surface ponding in one-dimensional flow condition was performed using the developed coupled model. Numerical results showed the initial reduction of the infiltration rate and asymptotic saturated infiltration rate depending on the hydraulic characteristics of the subsurface. Also, hydraulic study on unsaturated slopes by rainfall discussed a strength of coupled surface runoff-ground infiltration model over common direct injection model. The proposed numerical scheme is capable for a coupled analysis between surface ponding with the runoff and subsurface infiltration, without exaggerated or unstable predictions of surface pore water pressure.

요지

강우에 의한 지표면 유출과 지중 침투는 상호 연관된 현상으로 동시에 고려하여 해석을 수행하여야 한다. 기존의 대부분 수리해석은 지반 침투와 지표면 유출의 상호작용을 고려하지 못하고, 한 부분이 일정하다고 가정하거나 경험식을 이용하여 두 현상의 상호 작용을 무시하였다. 본 연구에서는 지표면 유출에 대한 지배방정식을 제시하고 해의 안정성 확보하기 위한 수식화 기법을 제시하였다. 또한 지중 침투와 연계하기 위하여 불포화 지반의 수리학적 현상에 대한 수정된 지배방정식을 제시하였다. 개발된 해석 모델을 이용하여 일차원 조건에서 지중 침투와 지표면 고임에 대한 수치해석을 수행하였다. 지중침투 해석결과는 지반의 수리학적 특성을 반영한 초기의 침투량 감소와 수렴된 포화 침투량을 모사할 수 있다. 강우에 의한 불포화 사면에서 유량을 직접 주입하는 수치해석법과 지표면 유출과 연계된 지중 침투 해석법에 대하여 비교 논의하였다. 제시된 수치해석 기법은 지표면 간극수압의 과장되고 불안정한 변화가 없는 지표면 유출에 의한 집수 현상과 지중 침투의 연계해석이 가능하였다.

1. 서론

강우에 의한 물의 이동은 대기 증발(evaporation), 지반 침투(infiltration), 그리고 지표면 유출(surface runoff)로 구분할 수 있다. 특히 지반 침투와 지표면 유출은 수리학적 관점에서 매우 밀접하게 상호 연관된 현상이다. 지반 침투에 의한 지표면의 음의 간극수압(suction)의 감소는 불포화 지반의 전단강도를 감소시켜 사면의 안정성을 저해시키며, 표면 유출은 수문학에서 하수 관거 시설의 주요 설계 인자이다. 이러한 강우에 의한 지반 침투와 표면 유출의 상호작용은 복잡한 지형조건과 다양한 지반조건을 통과하는 경우 더욱 복잡한 양상을 띠게 된다.
기존의 대부분 수리해석은 지반 침투와 지표면 유출의 상호작용을 고려하지 못하고, 한 부분이 일정하다고 가정하거나 경험식을 이용하여 두 현상의 상호 작용을 무시하였다 (Hwang, 2015). 특히, 수문학에서는 지반 침투능을 산정하기 위하여 경험적인 Horton 모델, Philip 모델, Green-Ampt 모델 등을 사용하고 있으며, 유출량을 산정하기 위하여 NRCS 모델로부터 강우에 의한 침투의 시간적인 변화를 산정하고 있다(Lee, 2015). 반면 지반공학에서는 일반적으로 사용하는 범용프로그램 등에서 지표면 유출을 무시하고 강우에 의한 유량을 지표면에 직접 주입하여 해석을 수행하였다. 하지만 실제 지반 침투와 지표면 유출량의 비율은 지반의 불포화 수리학적 조건, 지표면 형상, 선행강우에 의한 초기 간극수압 등 다양한 요인들에 의하여 결정된다. 예를 들면, 급경사, 습윤 상태의 지반, 양호한 지반 피복 조건 등에서 지표면 유출량이 상대적으로 증가하게 된다.
지반의 수리학적 해석에서 주 변수는 간극수압이며, 경계조건은 절점의 간극수압을 직접 지정하는 Essential (Dirichlet) 경계조건과 간극수압의 공간적 기울기인 유량을 지정하는 Non-essential (Neumann) 경계조건이 있다. 그리고 유한요소법에서 유량과 같은 Nuemann 경계조건은 수치 해석적 불안정성을 초래할 수 있다. 열적 문제(Thomas and Zhou, 1997)나 수리학적 문제(Phoon et al., 2007)에서 이러한 불안정성을 완화하기 위한 최소 시간 간격이나, 인위적인 완화 기법에 대하여 논의되었다. 이는 Laplace 형태의 지배방정식을 strong form이 아닌 weak form의 형태를 사용하는 Galerkin 수식화에 의한 것이며, 수치적 불안정성은 주어진 수리학적 혹은 열적 유량이 크기가 지반 용량보다 커지면 발생한다. 따라서 일부 범용프로그램은 지반의 침투 용량(infiltration capacity)을 초과하는 유량은 무시하고 인위적으로 해석결과를 조정하여 안정성을 유지하기도 한다(Karthikeyan et al., 2001).
이러한 수치해석 기법은 강우에 의한 지표면 유출과 지반 침투의 연계된 현상을 고려하지 않아서 발생하는 수치 해석적 문제이다. 본 연구에서는 기존의 유한 차분법이나 유한 체적법으로 수행하였던 지표면 유출과 지반 침투 연계해석을 유한 요소법에서 수행하기 위한 안정화 기법을 제안하고, 이를 이용하여 1차원 침투-고임 해석과 사면의 강우에 의한 침투-유출 해석을 수행하고자 한다.

2. 지표면-지중 유체 흐름에 지배방정식

지중의 지하수 흐름 해석은 다공질 내 유체 흐름에 대한 지배 방정식을 적용하였다. 그리고 얕은 지표면 흐름(shallow overland flow)은 St. Venant 방정식으로 알려져 있는 얕은 물의 흐름 방정식을 사용하였다. 그리고 지표면 흐름과 지중 지하수 흐름의 상호작용은 지반 침투 형식으로 모델링하였다.

2.1 지표면 유출에 대한 지배방정식

물질의 이동에 대한 거시적인 편미분 평형방정식은 δρψ/δt+∇·jψ=fψ(Shin, 2011)과 같으며, 이를 지표면 흐름에 적용하면 다음과 같은 일반화된 지표면 유출 흐름방정식을 얻을 수 있다.
(1)
δhδt+h(δuxδx+δuyδy)=RI
여기서, h는 지표면 유출 깊이 (surface runoff water depth)이며, uxuy는 지표면 유출수의 흐름속도이다. R는 강우 강도(rainfall intensity)를 나타내며, I는 지표면 유출수의 지중으로 침투 속도(infiltration rate)를 나타낸다.
지표면에서 유출 속도는 Manning의 마찰 흐름에 대한 경험식을 적용하였다.
(2)
V0=1nh2/3S01/2
여기서, n은 Manning의 거칠기 계수 [s/m1/3]이며, 지형경사는 S0=Sx2+Sy2으로
Sx=−δ(z+h)/δxSy=−δ(z+h)/δy으로 표현할 수 있다.
Eq. (1)에서 지표면 유출 속도는 다음과 같이 정리할 수 있다.
(3)
ux=V0SxS0=1nh2/3SxS0uy=V0SyS0=1nh2/3SyS0
물의 지표면으로부터 지중으로 침투는 지표면의 수위 h와 지중의 간극수압 P1의 차이로 정의할 수 있다(Panday and Huyakorn, 2004; Kollet and Maxwell, 2006).
(4)
I=KI(hPl/γw)
여기서 KI는 지표면에서 지중으로의 누출계수 (leakage coefficient)이다.
이를 정리하여 지표면 유출에 관한 지배 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
(5)
δhδt+23uiδhδxi(hV0So12huiS0SiS0)δ2Hδxi2=R1δhδt+bδhδxiκδ2Hδxi2+KI(hPl/γw)=R
여기서 H=z+h는 표면 유출 흐름의 전수두이며, 지배방정식의 매개변수는 bi=23ui, κi=hV0S012huiS0SiS0와 같다.
지표면 유출에 관한 유동 역학적 방정식 (Eq. (5))의 수렴성과 안정성을 향상시키기 위하여 Consistent Petrov-Galerkin 수식화를 적용하였다(Zienkiewicz et al., 2005).
(6)
Ωw[δhδt+biδhδxiκδ2Hδxi2+KI(hPlγw)R]dΩ+Ωp(w)τ[biδhδxiκδ2Hδxi2+KI(hPlγw)R]dΩ=0
여기서 p(ω)=biδwixi이며, τ=Δt/2 을 적용하였다.

2.2 불포화 지반에 대한 수리학적 지배방정식

지중의 불포화/포화 지반에 대한 물의 흐름은 Richard의 방정식을 알려져 있는 연속방정식에 강우의 지중 침투에 의하여 유입된 물을 고려하여 질량보존의 법칙에 대한 지배방정식을 유도하였다. 지배 방정식에 Galerkin 수식화를 적용하여 다음과 같은 강우 침투를 고려한 방정식으로 정리할 수 있다.
(7)
vwl[δρψδt+·jψ]dV=ΩwlIdΩvwl[δρψδt+·jψ]dVΩwlKI(hPl/γw)dΩ=0
여기서 단위체적당 물의 양은 ρψ=ρlψϕSl+ρgψϕ(1Sl)이며 질량 흐름 jψ=ρψ+ρlψql+ρgψqg이다. 그리고 Sl는 공극(void)에서 액체(liquid)의 포화도를 나타내며, qlqg는 액체 상태와 기체 상태의 단위면적당 유량(flow rate)을 나타낸다.
제시된 상호 의존적 지배방정식들에 Galerkin 수식화를 적용하고, 방정식들에 사다리꼴 법칙의 시간적분(t(m)t(m+1)PdtΔt[P(n)+θΔP+θdP])과 Newton의 반복과정을 도입하였다. 수리학적 구성모델들과 연계하여, 다공질 재료에서 다상 흐름의 연관된 현상에 대한 수치해석을 위하여 개발된 Geo-COUS (Geo-COUpled Simulator) 유한요소 프로그램과 결합하였다.

3. 지표면 유출과 지중 침투 해석

강우에 의한 지표면 유출과 지중 침투는 상호 연관된 현상으로 동시에 고려하여 해석을 수행하여야 한다. 개발된 해석 모델을 이용하여 1차원 조건에서 지중 침투(infiltration)와 지표면 고임(ponding)에 대한 수치해석을 수행하였다. 또한, 불포화 사면에서 강우에 의한 지표면 유출과 지반 침투에 대하여 논의하였다. 수치해석은 4절점의 간극수압 자유도를 갖는 2차원 유한요소를 사용하였다.

3.1 1차원 강우 침투 해석

강우의 지반 침투와 지표면 고임 현상에 기존의 연구는 대부분 Horton 모델, Philip 모델, Green-Ampt 모델 등과 같은 경험적인 방법을 이용하고 있다. 하지만, 모델식 들에 사용되는 계수들은 지반의 불포화/포화 수리학적 물성치의 연관성이 매우 부족하며, 경험적인 방법이나 실제 침투 실험을 통하여 평가하고 있다. 경험적 모델들을 대신하여, 개발된 지표면 유출과 연계된 지중 침투 모델을 이용하여 지반의 수리학적 물성과 초기 지중 간극수압으로부터 시간경과에 따른 강우 지중 침투량과 지표면 고임양을 평가하고자 한다. 수치해석에 사용된 지반의 수리학적 물성치는 울산지역 화강풍화토 지반의 물성으로 Table 1에 정리하였다(Kim and Shin, 2016). 수치해석은 지표면으로부터 -10 m 깊이까지 수행하였으며, 2,002의 절점을 이용하여 1,000의 연속체 유한요소와 1개의 지표면 유출 유한요소를 사용하였다.
Table 1
Hydraulic Soil Properties in Numerical Simulations
Model Soil parameters
Water retention curve: Se=[1+(Pca)b]c a=5.76 kPa, b=1.285, c=0.222
Intrinsic hydraulic conductivity:kl [m/s] 1.0×10−5
Relative hydraulic conductivity: krl=(se)(1(1Se1/λ)λ)2 λ=0.22
Fig. 1은 지표면의 간극수압이 -50kPa이고 깊이에 따른 정수압 분포를 갖는 지반에 대하여 강우강도에 따른 지중 침투량과 지표면 고임량에 대한 수치해석 결과를 보여주고 있다. 지반의 포화투수계수 (ksat=36mm/hr)보다 작은 강우강도에서는 지표면의 고임현상이 발생하지 않고, 전강우량은 하부 지반으로 침투하였다.
Fig. 1
Surface Ponding and Infiltration During Rainfall. a) Rain-surface ponding-infiltration at rainfall intensity I=30 mm/hr, b) Rain-surface ponding-infiltration at rainfall intensity I=90 mm/hr, c) Time history of infiltration rate at various rainfall intensity.
KOSHAM_17_06_201_fig_1.gif
하지만, 포화투수계수에 접근하면서 지표면 고임현상이 발생하기 시작하고 (Fig. 1(a)), 지반의 ksat 보다 큰 강우강도에서 강우 초기부터 지표면의 수위가 상승함을 알 수 있다 (Fig. 1(b)). Fig. 1(c)는 다양한 강우조건에 대하여 시간경과 에 따른 지중 침투율을 나타내고 있다. 모든 강우강도 조건에서 강우 초기에 지중 침투율은 강우 강도와 동일하게 나타나고 있다.
지반의 ksat 보다 작은 강우강도(20 mm/hr)는 지표면에 고임현상이 없이 전부 지중으로 침투함을 알 수 있다. 하지만, 큰 강우강도(90 mm/hr)에서는 강우강도와 동일한 초기 침투율에서 시간 경과에 따라 급격하게 감소하였다. Fig. 1(c)는 지중 침투율이 최소값에 도달한 후에 일정한 값에 수렴함을 보여주고 있다. 기존의 경험식과 달리, 지중 침투율이 일정한 값이 도달하는 시점은 지표면 고임현상이 발생하는 시점보다 늦다는 것을 알수 있다. 그리고, 강우강도가 증가할수록 지표면 고임현상과 침투율이 일정하는 수렴하는 시점이 빨라짐을 알 수 있다. 기존의 경험식은 수렴된 지중 침투율이 강우강도와 무관하지만, 강우강도가 증가할수록 수렴된 지중 침투율이 증가하는 것은 지표면 고임에 의한 수압과 침윤선 이동에 의한 것이다(Fig. 1(c)).

3.2 토사사면에 대한 강우 해석

기존의 강우에 의한 불포화 사면의 수리해석에서 지중 침투량을 임의로 가정하거나 경험적인 방법으로 결정하였다(Moon et al., 2008; Hwang, 2015). 하지만, 우기에 발생하는 사면의 안정성 문제는 사면내부로의 강우침투 뿐만 아니라, 지표면 유출에 의한 사면 하부의 고임 현상에 영향을 받게 된다. 5m 높이의 불포화 사면에 강우를 지표면에 직접 유량으로 재하하는 경우(Flux BC)와 개발된 지표면 유출과 연계된 지중 침투 모델(Runoff BC)을 이용한 수치 해석 결과를 비교 분석하였다. 지하수위는 사면하부에서 -5 m에 위치에 2%의 경사를 갖는 것으로 가정하였으며, 27,421의 절점을 이용하여 9,000의 연속체 유한요소와 150개의 지표면 유출 유한요소를 사용하였다. 사면 하부 지면의 경사는 사면 기슭(foot of slope) 방향으로 2%이며, 강우는 초기 1시간 동안 지속하였다.
Fig. 2에서 “Flux BC”는 지표면에 강우강도를 유량으로 직접 적용시킨 수치기법에 대한 해석 결과이다. 강재적인 유량주입으로 인하여 강우시 지표면에 높은 간극수압을 갖는 균등한 깊이의 포화대층이 형성되며, 강우 종료 후 높은 간극수압이 주위의 음의 간극수압으로 확산되면서 균등한 포화대층이 하부로 진행함을 알 수 있다.
Fig. 2
Pore Water Distribution of the Slope from Rainfall Pattern with Intensity 90mm/hr and Duration 1 Hour
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“Runoff BC”는 개발된 지표면의 유출과 연계된 지중 침투해석 방법에 의한 해석 결과를 나타내고 있다. 강우시 지표면 유출로 인하여 사면내부에 얇은 포화대층이 형성되며, 지형조건에 의하여 사면의 기슭에 유출수가 고이기 시작함을 알 수 있다. 그리고 강우 종료 후 사면 비탈면에는 상대적으로 얇은 포화대층이 형성되지만, 사면 기슭에는 모여든 유출수에 의하여 포화대층이 깊고 넓게 형성되어 있음을 알 수 있다.
Fig. 3(a)는 Flux BC과 Runoff BC 해석에 의한 사면 기슭 (Fig. 2의 “a”)에서 시간경과에 따른 간극수압의 변화를 나타내고 있다. Flux BC 수치해석법에서 지반의 포화투수계수에 근접하는 강우강도는 유량조건을 만족시키기 위하여 일시적으로 가상의 높은 간극수압을 유발하고, 해석 결과의 불안정한 요동(oscillation)을 유발하게 된다. 또한 유량의 주입이 완료된 후, 간극수압이 급격하게 감소하는 현상을 보이게 된다. 이러한 가상의 수치적인 불안정성을 최소화하기 위하여 수치해석 결과에 대한 인위적인 안정화가 필요하게 된다 (Karthikeyan et al., 2001). 반면 Runoff BC 수치해석법에서는 비탈사면을 따라 유출된 강우가 사면 기슭에 집수되면서 지표면 간극수압이 강우량보다 크게 나타남을 알 수 있다. 강우 종료 후, 지표면의 간극수압은 급격히 감소한 후 음의 값으로 수렴하게 된다. 유출수에 의한 지표면 수위는 강우 지속시간 동안 증가한 후, 강우종료 후 완만하게 감소한다. 지표면의 음의 간극수압과 지표면 양의 수위는 강우 종료 후 지표수가 지속적으로 지중으로 침투되고 있음을 나타내고 있다(Fig. 3(b)).
Fig. 3
a) Pore Water Pressure Comparison at Slope Foot “a” from direct flux injection onto the soil surface (“Flux BC”) and developed surface runoff-subsurface infiltration model (“Runoff BC”), b) Evolution of pore water pressure and runoff depth at slope foot “a” using surface runoff-subsurface infiltration model (“Runoff BC”).
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4. 결론

강우에 의한 사면의 수리학적 해석에서 지표면 유출과 지중 침투는 상호 연관된 그리고 매우 중요한 수리학적 현상이다. 하지만, 기존의 대부분의 연구에서 유출과 침투의 연계된 해석을 수행하지 않고, 지표면 유출을 무시하고 일정량의 유량을 직접 지표면에 주입하는 형태를 수치해석을 수행하고 있다. 본 연구에서는 지표면 유출에 대한 지배방정식을 제시하고 해의 안정성 확보하기 위한 수식화 기법을 제시하였다. 또한 지중 침투와 연계하기 위하여 불포화 지반의 수리학적 현상에 대한 수정된 지배방정식을 제시하였다.
  • (1) 개발된 지표면 유출과 연계된 지중 침투 모델을 이용하여 1차원 강우 침투 해석을 수행하였다. 다양한 강우강도에 대한 수치 해석 결과는 기존의 경험식과 같은 강우에 의한 초기 침투량의 감소와 수렴된 포화 침투량을 보여주었다. 하지만, 단순화된 기존 경험식과 달리, 개발된 모델은 강우조건에 따른 지표면 고임현상과 지중 침투율의 변화를 지반의 수리학적 물성을 이용하여 효과적으로 모델링할 수 있었다.

  • (2) 불포화 비탈 사면에 대한 강우재하 수치해석에서 기존의 지표면에 유량을 직접 재하하는 해석기법은 초기의 지표면에 과장된 그리고 불안정한 간극수압을 발생시켰다. 하지만, 지표면 유출과 연계된 지중 침투 모델은 강우시 지표면 유출에 의한 집수 현상과 지중 침투를 연계하여 보다 현실적인 간극수압의 변화를 보여주고 있다.

감사의 글

본 연구는 국토교통부/국토교통과학기술진흥원 건설 기술연구사업(13SCIPS04)의 연구비지원에 의해 수행되었습니다.

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