2.1 최근린 방법

점의 공간적 특성은 정방구역 방법, 최근린 지수, 특화도 및 집중도지수 등을 이용하여 평가할 수 있다. 자연현상의 경우는 대부분 포아송 분포로 가정하며, 이는 불규칙하게 표현하는 이산 확률분포로 표현할 수 있다. 포아송 분포는 거리, 면적, 체적 등 다른 값의 특정 간격 안에서 발생하는 사건들의 확률을 다루는 데도 쓰일 수 있다.

주로 시간, 거리, 또는 공간상에서 무작위로 드물게 발생하는 사건의 수를 묘사하는데 사용한다. 점이 무작위한 분포를 따른다면 점의 분포 형태는 점이 밀집된 지역과 점이 분산된 지역이 섞여 있는 경우일 것이다. 즉, 규칙성이 없는 점의 형태이며 포아송 분포는 이를 파악하는 기준이 될 수 있다. 따라서 포아송 분포를 따르는 무작위한 점의 분포는 자연현상에 의해 생성된 경우에 적용할 수 있다(Getis, 1964; Yoo et al., 2011).

최근린 방법(nearest neighbor method)은 정방구역 방법과 더불어 점 사상의 분포특성을 파악하기 위해 실시한다. 최근린 분석은 임의 점에 가장 가까운 인접 점들 간의 거리 특성을 이용하는 방법이다(KRIHS, 2004; Lloyd, 2006). 두 지점간의 거리를 측정하여 분포특성을 파악한다는 점에서 정방구역 방법에 비해 보다 지리적인 접근방법이라 할 수 있다(Grieg-Smith, 1952; Choi, 2007).

만약 점의 공간분포이 군집되면 주변 점들 간의 거리는 짧게 되며, 반대로 분산되면 주변 점들 간의 거리는 멀게 된다. 따라서 관측치에서의 최근린 거리의 평균과 모형에서의 평균 기대거리의 비를 이용하면 점의 분산 및 집중 정도를 파악할 수 있다. 만약 임의의 확률밀도함수를 적용하여 기대거리를 산정한 후, 관측자료로부터의 평균 최근린 거리와 비교하면 점의 분산 및 집중 정도를 상대적으로 판단할 수 있다. 이 비를 최근린 지수(NNI)라 하며, 다음과 같이 정의된다.

여기서 d_obs는 관측 평균 최근린 거리, d_exp론적 평균 최근린 거리이다. 일반적으로 NNI = 1이면 가정한 모형과 동일, NNI < 1은 가정한 모형보다 집중성향, NNI > 1\;은 가정한 모형보다 분산성향을 보이는 것으로 판단한다(Lloyd, 2006).

만약 공간의 모든 점들이 2차원 포아송 분포를 따른다고 가정하면, 최인접 점들 사이의 평균 거리는 1/(2ρ )이 된다. 여기서 ρ 는 강우관측소 밀도(강우관측소 총 개수/대상면적)를 나타낸다. 만일 관측자료를 이용하여 추정한 거리가 이 보다 작으면 집중된 형태를 의미하고, 더 크면 보다 균등하게 분산된 형태를 의미한다. 만일 대상 지역 내 점들이 완벽하게 분산된 형태로 존재한다면 이는 바둑판 형태의 배열이 된다.

2.2 추정오차 산정을 위한 이론적 배경

일반적으로 면적평균강우량을 산정을 위해 산술평균법(arithmetic average method), 티센가중법(Thiessen’s weighting method), 등우선법(isohyetal method)이 사용된다(Chow, 1988). 먼저 산술평균법은 유역내 강우관측소의 지점강우량을 산술평균하여 유역의 평균강우량을 산정하는 방법이다. 유역내 강우관측소가 등분포일 때 사용할 수 있다. 티센가중법은 유역면적에 대한 각 강우관측소의 지배면적을 가중인자로 이용하는 방법이다. 등우선법은 티센가중법에서 고려할 수 없는 산악의 영향을 반영할 수 있는 장점이 있으나 등우선의 작성이 주관적이라 제한적으로 사용되고 있다. 추정이론은 강우의 변동성을 고려할 수 있는 장점이 있으며, 최적가중치를 이용하여 유역의 면적평균강우량을 산정하는 방법이다(Bell, 1986; Hegerl and North, 1997; North and Stevens, 1998). 모든 면적평균강우량 산정기법은 다음과 같은 추정오차를 포함하고 있다.

여기서 P_m은 면적평균강우량, Pm^는 산술평균, 티센가중법, 추정이론 등에 의해 추정된 면적평균강우량, ε 은 추정오차이다. 산술평균법은 각각의 강우관측소의 가중치가 동일한 경우로 추정오차는  σ2n 이다. 여기서, n은 강우관측소의 개수이며, σ² 은 각 지점별 강우자료부터 계산된 분산의 평균이다. 티센가중법은 유역면적에 대한 각 강우관측소의 지배면적을 가중인자로 이용하는 방법으로 추정오차는 ∑k=1n​ak 2σk2이다. 여기서 a_k는 각 강우관측소의 면적가중치이며, 각 강우관측소의 지배면적을 유역면적(A_k/A)으로 나누어 산정한다. 유역내 강우관측소가 균등하게 분포되어 있다면 a_k는 일정한 값을 갖게 되며 산술평균법과 같이 가중치는 1/n된다. 최적가중치를 이용하여 유역의 면적평균강우량을 산정하는 추정이론은 강우의 변동성을 고려할 수 있는 장점이 있으며, 이러한 추정이론은 강우관측소가 균등하게 분포되어 있다는 가정하에 적용한다(North and Stevens, 1998; Stevens and North, 1996). 강우관측소가 서로 독립적이라는 가정하에 추정이론의 추정오차는 1/∑k=1n1σk2이다. 이 위 식은 산술평균법과 동일하게 강우관측자료의 독립이 가정되는 경우에 유효하며, 만일 강우관측소 사이에 상관성이 존재하는 경우는 관측오차는 작아지게 된다. 이를 정량적으로 추정하기 위해서는 EOF(Empirical Orthogonal Function)와 SVD(Singular Value Decomposition)과 같은 방법을 통해 분석이 가능하다(North, 1984; Shen et al., 1994; Yoo and Jung, 2001). 면적평균강우량 산정의 방법과 이들의 추정오차를 정리하면 아래 Table 1과 같다.

Table 1

Methodology of Arel Average Rainfall Estimate and Its Estimation Error

3.1 대상유역

강우-유출해석의 목적을 위해서는 하천형상에 따른 유역분수령을 기준으로 유역을 분할하여야 한다. 즉, 유역분할은 상·하류 유역의 유기적인 상관관계가 고려되어야 하며, 이는 하천의 상·하류간의 유출특성을 반영한 것이라 할 수 있다. 상·하류간의 유출특성이 반영되면 돌발홍수 및 집중호우 등의 유출해석에 있어 보다 유리하며, 강우관측망 역시 분할된 유역에 따라 평가되는 게 바람직하다. 따라서 본 연구에서는 금강유역중 옥포지점을 출구로 하는 유역을 대상유역으로 선정하였으며, 대상유역내에는 공주수위표(#3012), 논산천(#3013), 금강하구언(#3014)의 중권역이 위치해 있다. 대상유역의 유역면적은 3,047 km²이며, 하천연장은 129 km, 하천경사는 0.01335 정도이다. 유역내에는 34개의 수위관측소(국토교통부: 30개, 한국수자원공사: 2개, 기타: 1개)와 20개의 강우관측소(국토교통부: 20개)가 위치해 있다. 아래의 Fig. 1은 대상유역의 하천망도와 강우관측소의 위치를 나타낸 것이며, Table 2는 대상유역내의 강우관측소의 현황을 나타낸 것이다.

Fig. 1

Location of Stream and Rain Gauge Station in the Study Basin

Table 2

Status of Rain Gauge Applied in This Study

3.2 강우관측소의 설치밀도

강우관측망을 평가하기 위해서 우선적으로 고려되어야 할 사항은 대상유역에 충분한 강우관측소가 설치되어 있는지와 강우관측의 목적에 부합되도록 관측소가 적절하게 배치되어 있는가이다. 대상유역에 충분한 강우관측소가 설치되어 있는지의 기준으로 WMO(World Meteorological Organization)에서 제시한 강우계의 설치밀도가 주로 이용된다. WMO(2008)은 강우관측소의 종류 및 지형에 따라 아래 Table 3과 같이 강우관측망의 최소 관측밀도를 제시하였다. 대상유역의 강우관측소의 밀도는 152.3(km²/개), 0.0066 (개/km²)이다. 대상유역내에 설치된 강우관측소는 자기강우관측소로 WMO(2008)의 최소설치 기준을 만족한다. 그러나 최소 설치밀도의 기준을 만족하더라도 설치된 강우관측소가 잘 분포 되었다고 판단하기는 어렵다. WMO(2008)가 제시한 강우관측망의 최소밀도는 관측소들의 공간적 분포특성은 파악하기 힘들며, 이는 강우자료 수집을 위한 최소기준이 된다.

Table 3

Recommended Minimum Densities of Stations (Area in km² per station)(WMO, 2008)

3.3 강우사상 추출

면적평균강우량의 추정오차를 산정하기 위해 대상유역의 2006년 04월 ~ 2014년 08월의 강우사상을 적용하였다. 강우사상을 추출하기 위한 기준으로 IETD(InterEvnet Time Duration)은 자연유역이라 가정하여 12시간을 적용하였으며, 강우사상중 총 강우량이 30 mm 이상, 강우지속시간이 5시간 이상인 강우사상만 분석에 적용하였다. 위 기준으로 추출된 강우사상은 총 87개이며, 추출된 강우자료의 특성을 정리하면 Table 4와 같다.

Table 4

Characteristic of Selected Rainfall Events

4.1 최적관측소 개수 결정을 위한 강우관측망의 재구축

대상유역의 공간분포는 최근린 지수를 이용하여 평가하였으며, 이는 각각의 지점에서 가장 가까운 점들의 평균거리와 모형의 평균 기대거리를 비교하는 방법이다. 이때 관측치에서의 최근린 거리의 평균과 모형에서의 평균기대 거리의 비를 이용하면 점의 분산 및 집중 정도를 파악할 수 있다. 아울러 관측치와 모형에서의 평균기대 거리의 비를 최근린 지수라 하며 1보다 크면 분산, 1보다 적으면 집중으로 판단할 수 있다. 대상유역의 최근린 지수는 1.550이며, 최소 및 최대 최근린 거리는 각각 4.639 km, 15.228 km이다.

면적평균강우량의 추정오차는 강우관측망의 공간적 분포 뿐 아니라 관측망의 밀도에도 영향을 받는다. 대상유역에 대해 최적강우관측소의 개수를 결정하기 위해 강우관측망을 재배치하여 다양한 공간분포와 그에 따른 면적평균강우량 및 추정오차를 산정하였다. 대상유역내에는 20개의 강우관측소가 위치해 있으며, 이중 10, 13, 15, 18개의 강우관측소를 선택하여 공간분포가 가장 좋은 경우와 공간분포가 가장 나쁜 경우로 강우관측망을 재구축하였다. 이때 20개의 강우관측소중 10, 13, 15개, 18개의 강우관측소가 선택되었을 때의 구축 가능한 경우의 수는 Table 5와 같다.

Table 5

The Number of the Possible Combinations of the Selected Stations Out of 20 Stations

각각의 관측소의 개수별로 재배치된 강우관측망에 대한 최근린 지수를 정리하면 아래 Table 6과 같으며, 구축된 강우관측망을 도시적으로 표현하면 아래 Fig. 2와 같다. 여기서 10(B)은 현재 설치된 총 20개의 강우관측소중 10개 선택했을 때 공간분포가 좋은 경우이며, 10(W)은 총 20개의 강우관측소중 10개 선택했을 때 공간분포가 나쁜 경우를 의미한다. 공간분포를 좋은 경우와 나쁜 경우를 찾기 위한 최적화 알고리즘은 화음탐색법을 사용하였다. 아울러 20(All)은 강우관측소의 전체자료, 즉 현재 상태의 강우관측망이다. 공간분포가 좋게 재배치시킨 경우 관측소의 개수가 증가됨에 따라 최근린 지수는 작아진다. 이는 설치된 강우관측소의 개소가 증가하게 되면 인접한 강우관측소간의 거리가 줄어들기 때문이다.

Table 6

Spatial Distribution Depending on the Number of Rain Gauge Stations

Fig. 2

Rain Gauge Networks and Thiessen Polygon Depending on the Number of Rain Gauge Stations

4.2 추정오차 분석을 통한 최적관측소 개수 결정

산술평균법은 면적평균강우량 산정시 모든 강우관측소의 가중치가 동일하다고 가정하므로 산술평균법의 가중치는 강우관측소의 개수에 의해 결정되며, 추정이론의 경우는 자료의 특성 즉, 강우사상별로 강우관측소의 가중치가 다르다. 티센가중법은 각 강우관측소가 지배하는 면적에 의해 가중치가 결정된다. 따라서 티센가중법의 경우 공간분포 특성에 따라 가중치가 다르게 됨으로 산술평균법과 추정이론에 비해 공간분포에 더 큰 영향을 받는다. Table 7은 재배치한 강우관측망에 대한 티센가중치의 통계적 특성을 정리한 것이다. 공간분포가 좋은 경우는 공간분포가 나쁜 경우에 비해 티센가중치의 변동계수(CV: Coefficient of Variation)는 작아지게 된다. 이는 공간분포가 좋아질수록 각각의 강우관측소가 지배하는 면적이 일정해 지기 때문이다.

Table 7

Basic Statistic of Thiessen Weighting Factors for Areal Average Rainfall Estimation

강우관측소의 개수에 따라 강우관측망을 재배치하였을 경우의 최근린 지수와 Case 별로 산술평균법, 티센가중법 및 추정이론을 적용하여 87개 강우사상에 대해 면적평균강우량의 추정오차를 산정하였다. Table 8은 각 방법론에 따라 면적평균강우량의 추정오차를 산정한 결과이며, 이를 도시적으로 비교한 것이 Fig. 3이다.

Table 8

Basic Statistics of Thiessen’s Weighting Factors for Areal Average Rainfall Estimation

Fig. 3

Estimation Error Analysis According to the Change of the Number of Rain Gauge Stations

Case별로 산정된 추정오차의 특성을 살펴보면 다음과 같다. 산술평균법과 추정이론의 경우 관측소의 공간분포의 특성에 따라 큰 영향을 받지 않으며, 강우관측소의 밀도가 중요한 인자가 된다. 즉, 산술평균법은 관측소의 개수에 따라 가중치가 결정되어 공간분포에 따른 영향이 크지 않게 된다. 추정이론의 경우에도 관측자료의 특성에 따라 추정오차가 결정되며, 이는 산술평균과 같이 강우관측자료의 독립성이 확보될 경우에 적용할 수 있다. 관측소의 공간분포에 가장 영향을 많이 받는 티센가중법은 관측소의 공간분포가 나쁜 경우 산술평균법보다 더 큰 추정오차를 가지는 것으로 평가되었다. 특히, 강우관측소의 개수가 15개 이하인 경우 이러한 경향이 명백하였다.

티센가중법에서는 강우관측소의 공간적 분포와 개수가 면적평균강우량 산정에 중요하다고 평가되었다. 강우관측소의 개수가 적은 경우, 즉, 15개 이하인 경우, 공간분포에 따른 영향이 컸다(Fig. 3. (b) 참조). 예를 들어 강우관측소가 10개인 경우와 13개인 경우 10(B)의 추정오차가 13(W)보다 적었다. 또한 13개인 경우와 15개인 경우에도 13(B)가 15(W) 보다 더 적은 추정오차를 보였다(Table 8 참조). 즉, 강우관측소의 개소가 적어도 공간분포가 좋은 경우에 면적평균강우량 산정에 더 좋은 결과를 나타내었다. 이러한 결과는 Dyck and Gray(1977)의 연구에서 강우관측소가 균등하게 설치되었을 경우 불균등하게 설치되었을 때 보다 요구되는 강우관측망의 밀도가 낮다는 연구결과와 배치된다. 그러나 강우관측소의 개수 차이가 크면, 예를 들어 10(B)와 15(W)인 경우 15(W)가 10(B)보다 면적평균강우량 산정에 좋은 결과를 주었다. 이러한 경향은 강우관측소의 개수가 18개가 된 경우 (현재 20개보다 2개 적은 경우)에는 강우관측소의 공간분포에 의한 차이가 적게 나타났다(18(B)의 추정오차 0.741, 18(W)의 추정오차 0.744). 즉, 강우관측소의 개수가 늘어나서 강우관측소의 밀도(density)가 170 area in km² per station 정도가 되면 면적평균강우량의 산정에 공간분포가 큰 영향을 미치지 않는 것으로 평가되었다.

면적평균강우량의 산정에 있어서 강우관측소의 밀도의 중요성은 세 가지 산정방법 모두에서 커졌다. 즉, 강우관측소의 밀도가 높아지게 되면 추정오차는 세 가지 방법 모두에서 감소하였다. 위의 결과에서 알 수 있는 것은 강우관측망을 구축시 강우관측망의 밀도와 강우관측소의 공간분포 둘 다 고려되어야 하며 강우관측소의 공간분포가 좋다고 하더라도 강우관측소의 밀도가 낮게 되면 정확한 면적평균강우량 산정이 어렵게 된다.

강우관측소의 밀도가 커지면서 면적평균강우량의 추정오차가 줄어들다 하더라도 관측소의 개수를 무한대로 증가시킬 수 없다. 강우관측소의 경우 운영 및 유지관리에 비용이 발생되며 이를 위해 보다 경제적인 관측망이 구축되어야 한다. 만약 경제적인 운영을 위해 관측소의 개수를 줄여야 하는 경우, 본 연구에서 한 것과 같이 강우관측소의 개소와 공간적 분포에 따른 면적평균강우량의 추정오차를 비교하면 줄일 수 있는 강우관측소를 파악할 수 있을 것이다. 예를 들어 면적평균강우량 산정시 티센가중법을 적용한다고 가정하면 대상유역의 경우 20개의 관측소중 18개를 운영하더라도 현재 정도의 정확도를 유지할 수 있을 것이다(20(ALL)의 추정오차: 0.728, 18(B)의 추정오차: 0.741).

4.3 활용방안 및 향후연구

본 연구에서 제시된 방법론은 다음과 같은 목적에 활용될 수 있다. 유역에 강우관측망을 구축 및 신설할 경우 강우관측소망의 적절성을 평가하는데 적용할 수 있다. 이는 강우-유출해석을 위한 면적평균강우량 산정의 정확도를 확보하기 위함이다. 또한 공간적 분포가 나쁠 경우 적절한 면적평균강우량 산정을 위해 보다 많은 관측소가 필요로 하여 경제적인 관측망 구축이 어렵게 된다. 만약 유지관리 비용을 줄이기 위해서 강우관측소의 개수를 줄일 필요가 있으면 공간적 분포의 적절성을 유지하는 범위 내에서 강우관측소를 줄일 수 있을 것이다.

본 연구의 방법론은 아래와 같은 한계점이 있다. 집중호우나 도시지역의 중요성을 반영하기 위해서는 특정지역에 보다 조밀한 관측망이 필요하다. 이러한 경우 강우관측망의 공간적 분포는 나쁘게 된다. 따라서 강우관측소의 평가는 설치목적에 따라 다양한 인자들이 고려되어야 한다는 점이다. 강우관측소의 선정위치 역시 관리자의 접근성 및 유지관리비용, 유무선 통신의 적용성 등이 고려하여 결정하여야 한다. 이러한 모든 점을 고려할 경우 유역내 일부 지역에서 강우관측소가 조밀하게 설치될 수 있으며 이러한 경우에는 면적평균강우량 산정의 정확성 보다는 강우관측의 다른 이유가 더 중요하기 때문일 것이다. 그러나 일반적인 강우관측망의 설치와 운영에는 본 연구에서 확인한 것과 같이 적절한 공간적인 분포와 일정 수준이상의 밀도가 확보되어야 할 것이다. 아울러 강우관측망의 수평적으로 균등한 배치뿐 아니라 수직적 분포인 고도 역시 고려되어야 한다. 이는 평지지역과 산악지역에의 강우의 특성이 다르기 때문에 고도 역시 고려되어야 할 인자이다. 따라서 이 두 가지를 동시에 고려할 수 있는 연구를 진행하고 있으며, 이에 대해서는 추후 연구과제로 남긴다.