1. 서 론
수자원 분야에서 지점 단위로 되어 있는 지상관측자료, 기후 통계자료의 면적 평균 자료 생산, 홍수예경보 등 다양한 분야에서 면적 평균 강수량을 사용하고 있다. 이처럼 면적 평균 강우량을 정확하게 추정하는 것은 아주 중요한 문제이다. 면적 평균 강우량은 대상유역의 강우관측망의 밀도와 함께 관측망의 공간적 분포에 지배적인 영향을 받으며 면적 평균 강우량 산정에 앞서 반드시 고려되어야 할 부분일 할 수 있는데 특히, 강수 데이터의 공간 분포는 특히 수자원에 대한 많은 환경 적용에서 중요한 역할을 한다(Faurès et al., 1995; Li and Heap, 2011; Ly et al., 2011; Wagner et al., 2012; Chen et al., 2017).
대부분의 강수 데이터는 지점 단위로 공간적으로 분산된 강수량계 관측망에 의해 수집된다. 강수량계는 한 지점의 강수량을 비교적 정확하게 측정하지만 고정된 지점에서 관측되는 자료로 시간에 따른 강우량의 공간적 변동성을 정확하게 관측할 수 없다. 강수량계 강수량은 일반적으로 강우-유출의 해석에 있어 입력자료 사용되며 모델 정확도는 이러한 입력 데이터에 의해 크게 영향을 받는다(Beven, 2011). 특히, 수문모델 결과의 품질은 연속적인 공간강우자료의 품질에 크게 영향을 받는다(Singh, 1997; Andréassian et al., 2001; Kobold and Sušelj, 2005; Leander et al., 2008; Moulin et al., 2009). 유출해석에 있어 적은 수의 강수량계 데이터를 사용하면 하천유량 결과에 큰 불확실성이 발생할 수 있으며(Faurès et al., 1995; Chaubey et al., 1999), 특히 강수량 관측소가 유역 밖에 있을 때는 그 불확실성이 더 커진다(Schuurmans and Bierkens, 2006). 이러한 공간 관측의 한계와 불확실성을 줄이기 위해 티센 다각형(Thiessen, 1911) 및 역거리 가중(Teegavarapu et al., 2009; Di Piazza et al., 2011; Berndt and Haberlandt, 2018) 법과 같은 기초적인 방법 외에, 거리, 고도 등을 공분산으로 통합하는 Kriging과 같은 보다 복잡한 공간 보간 방식 등 다양한 방법이 개발 및 적용되어 오고 있다. 전자와 후자는 각각 결정론적 방법과 지리통계학적 방법으로도 알려져 있다(Ly et al., 2011). 그러나 지점 강수량계 자료를 공간 보간함에 있어 어떤 공간 보간법이 우수하고 적절한지 규명하기 위해 수많은 비교 연구가 수행되었지만 통상적으로 적용할만한 일관된 결과는 없었다(Dirks et al., 1998; Vicente-Serrano et al., 2003; Otieno et al., 2014; Price et al., 2014).
국내 관측망의 공간분포와 관련된 논문을 살펴보면, Yoo et al. (2003)은 남한강 유역을 대상으로 강우의 공간상관구조를 이용하여 강우관측망을 평가하였으며, Lee and Jun (2015)는 강우관측망이 공간적으로 균등한 경우 레이더 강우의 보정에 있어서도 유리함을 확인하였으며, 강우관측망의 공간분포는 유역 면적 평균강우량 산정 및 레이더 강우보정에 있어 중요한 인자임을 제시하였다.
본 연구에서는 공간 보간 방법을 사용하여 지역 평균 강우량을 추정할 때 유역 규모, 강수량계 밀도, 우량계 분포 등의 영향으로 인한 불확실도를 정량적으로 평가하여, 강수량계 배치 및 관측의 가이드라인을 제공하고자 한다.
2. 분석 자료 및 대상 유역
다양한 공간 보간 방법을 적용한 유역 평균 강우량에 대한 우량계 밀도의 효과를 입증하기 위해 2016년과 2018년 사이에 664개의 표준 유역의 강우량 이벤트를 선정하여 분석하였다. 전체 850개의 표준 유역 중 홍수 예보에 사용되는 664개의 표준 유역을 선택하여 분석하였다. 그리고 선택된 각 표준 유역 중에서 다음과 같은 두 가지 조건을 충족하는 강우량 이벤트는 제외하였는데 그 기준은 다음과 같다.
첫 번째는, 레이더 강우 데이터를 사용하여 누적 평균 강우량이 10 mm 미만인 경우, 두 번째 조건은 우량계 데이터와 레이더 강우 데이터를 사용하는 것 사이의 실제 평균 강우량 차이가 3배 이상인 경우이다. 이는 이상치로 간주되서 분석에서 제외되었다. 이러한 과정을 종합적으로 거쳐, 최종적으로 528개 표준 유역과 61개 강우 이벤트가 면적 평균 강우 분석을 위해 선택되었다(Table 1). Fig. 1은 이러한 과정을 거쳐 선정된 850개 표준 유역 중 528개의 표준 유역의 유역 면적 분포를 나타낸 것으로 528개의 표준 유역의 면적 평균은 126 km2이다.
Table 1
Rainfall Events Analyzed to Investigate the Relationship between Outlier Frequency and Rain Gauge Location
3. 분석 방법 및 평가 방법
3.1 역거리 가중 방법(Inverse distance weighted method, IDW)
이 방법은 알려진 주위값들의 가중선형조합을 이용하여 새로운 값을 예측하는 방법 중 하나로, 일반적으로 지역평균법의 경우, 영향 반경 내의 모든 자료값에 동일한 가중치를 부여하는 한꼐가 있어 이럴 개선한 방법이다(Kim et al., 2010). 가중치는 거리가 멀어짐에 따라 수직적으로 감소한다.
여기서, di는 추정치x와 관측치xi사이의 거리이다. p가 0이면 역거리 가중 방법의 결과는 산술평균값과 같게 되고, 무한대로 커지만 티센 면적 가중법의 추정 결과와 같아진다. 죽, p가 커질수록 가가운 점의 영향이 크게 반영된다.
3.2 정규 크리깅 방법(Ordinary kriging, KRG)
범용적으로 사용되는 공간 내삽 방법 중 하나로, 관측하지 않는 특정지점에서의 값을 추정하기 위해 주변의 값들을 선형조합하여 예측하는 바업ㅂ이다. 추정시 실측값과의 거리 뿐만 아니라 이웃한 값과의 상관성을 고려한다. 크리깅에서 공간적 상호관계는 일정한 이격거리만큼 떨어진 자료들의 이질성을 나타내는 베리오그램을 통해 규정되는데, 이격거리 d만큼 떨어진 자료와의 편차 제곱의 평균으로 나타낸다.
여기서, 정규 크리깅 가중치ai(z)는 불편의 조건과 추정 분산을 최소화함으로써 추정할 수 있다.
3.3 다중이차내삽 방법(Multi-quadric interpolation method, MQI)
Hardy (1971)에 의해 고안된 방법으로 지역가중법의 일종인 방법이다. RBF (Radial basis function)을 이용하는 방법으로 Franke (1982)는 이 방법이 여러 가지 방법들과 비교하여 연속적인 방법보다는 훨씬 우수하며 통계적 방법과는 적어도 비슷한 결과를 낸다는 결론을 제시하였다. 이 방법은 Nuss and Titley (1994)에 의해 기상장에 적용된 바 있다(Lee et al., 2010). RBF를 이용한 내삽식은 다음과 같다.
여기서 H(X)는 압력이나 온도와 같이 공간적으로 변동하는 배경장이고, Q(X-Xi)는 RBF로 대상 영역안의 관측지점 Xi와 다른 지점 X간의 관계를 나타내는 벡터인수이다. 매개변수 αi는 관측치 혹은 틍정 방법으로 결정되는 가중인자이다.
3.4 티센면적가중법(Thiessen polygon method, TSN)
티센가중법은 유역면적에 대한 각 강우관측소의 지배면적을 가중인자로 이용하는 방법으로 유역면적 평균 강우량 및 추정오차는 다음과 같이 계산할 수 있다(Lee and Jun, 2015).
여기서P*mT은 티센가중법으로 산정된 면적평균강우량, εT는 티센가중법의 추정오차, ak는 각 강우관측소의 면적가중치이며, 각 강우관측소의 지배면적을 유역면적(Ak/A)으로 나누어 산정할 수 있다. 유역내 강우관측소가 균등하게 분포되어 있다면 ak는 일정한 값을 갖게 되며 산술평균법과 같이 가중치가1/n이다.
3.5 평균 절대 백분율 오차(Mean Absolute Percentage Error, MAPE)
MAPE는 실제값과 예측값 사이의 차이를 실제값으로 나눠줌으로써 오차가 실제값에서 차지하는 상대적인 비율을 산출하는 방법이다(Eq. (5)). 퍼센트 값을 가지며 회귀모델이 잘 구현되었는지 확인할 때 많이 사용되는 평가지표로 0에 가까울수록 잘 구현되었다는 것을 의미한다. 0~100% 사이의 값을 가지기 때문에 이해하기 쉬우므로 성능 비교 해석이 가능하며 데이터의 크가 관련된 것이 아닌 비율과 관련된 값을 가지기 때문에 다양한 모델, 데이터의 성능 비교에 용이한 장점을 가지고 있다. 본 연구에서 적용한 식은 다음과 같다.
여기서, 위첨자 RDR은 레이더, 아래첨자 ITP가 내삽 방법, 즉 TSN, IDW, KRG 및 MQI를 나타낸다. A M R I T P R D R A M R G R D R D R
3.6 평균 백분율 오차(Mean Percentage Error, MPE)
MPE는 예측값들이 평균적으로 미달하는지 초과하는지에 대한 백분율을 산출하는 방법으로 예측값이 과소평가 되었는지 과대평가 되었는지 확인할 수 있는 방법이다(Eq. (6)). MPE값이 (+)이면 과소 추정됨을 의미하며, MPE값이 (-)인 경우, 반대로 과대추정 되었음을 의미하고 정확한 추정을 할수록 0에 가까운 값을 나타낸다.
여기서, 위첨자 RDR은 레이더, 아래첨자 ITP가 내삽 방법, 즉 TSN, IDW, KRG 및 MQI를 나타낸다. A M R I T P R D R A M R G R D R D R
4. 분석 결과
Fig. 2는 본 연구에서 사용된 데이터가 어떻게 구성되는지를 보여주는데, 내삽 방법에서 계산된 우량계 밀도의 효과를 평가하기 위해 기준 유역 평균 강우량이 필요하다. 레이더강우 데이터를 이용한 추정 강우량은 레이더가 우량계보다 공간 적 및 시간적 해상도를 상대적으로 높게 나타내기 때문에 기준 자료로 설정하였다. 강우량 데이터는 우량계 위치의 레이더 그리드에서 채취되며, 이는 면적 평균 강우량을 계산하는 데 사용된다. 이러한 방식으로 4개의 서로 다른 보간 방법의 평균절대값백분률오차(Mean Absolute Percentage Error, MAPE)는 Eq. (1)에 의해 산정된다.
Fig. 2
Schematic Diagram of Estimating Area-averaged Rainfall With Various Interpolation Methods Using Radar Rainfall Data
4.1 주요 내삽기법에 의한 면적평균 강수량의 오차 비교
본 연구에서는 위의 4가지 내삽 방법과 평과지표를 이용하여 528개 표준 유역과 61개 강우 이벤트에 적용하여 우량계의 수에 따른 면적 평균 강수량을 산정하였으며, 내삽방법별 성능 평가를 위해 평가지표를 산정하였다(Fig. 3).
Fig. 3
Boxplot of Rainfall Coefficient (Ng) and MAPE (%) for Various Spatial Interpolation Methods Used to Estimate Watershed Average Precipitation
노란 계열의 박스는 사분위 범위(IQR)를 나타내고 MAPE 세트의 25 백분위수(첫번째 사분위수)~75 백분위수(3번째 사분위수)를 나타낸다. 박스 안의 가로 선은 중앙값, 그리고 검은색 원은 산술 평균을 나타내고, 세로로 연결된 얇은 선은 최대와 최저치(1.5 × IQR) 범위를 나타낸다. 분석 결과, IDW 및 KRG의 1.5 × IQR의 범위는 우량계의 수가 2개 이하일 때 MQI와 TSN의 범위보다 적으나, 우량계의 수가 3개 이상인 경우는 4가지 방법 간의 차이는 크지 않은 것으로 나타났다. 흥미로운 점은 MQI의 경우 우량계 수가 2개 미만일 때 IQR 범위가 가장 넓고, 평균값이 가장 크고 평균값이 가장 크지만 중앙값은 다른 방법과 다르지 않다는 점으로, 이는 MQI가 적용될 때 MAPE와 평균값에 영향을 미치는 큰 호우 이벤트가 있었다는 점을 나타내나, 평균적으로 MAPE는 다른 세 가지 방법에 비해 크지 않다는 것을 의미한다.
우량계 수와 MAPE 변동 간의 관계를 명확하게 비교하기 위해 Fig. 3에 제시된 평균값을 추출하여 Table 2와 Fig. 4에 나타냈다. Table 2와 Fig. 4에서 볼 수 있듯이, 우량계의 수가 증가함에 따라 내삽 방법 간의 강우량 차이가 감소하는 것으로 나타났다. Fig. 4에서 원이 있는 빨간색 선은 MAPE의 평균값의 추세선(2차 다항식)을 표시하고, 단일 우량계가 면적 평균 강우량을 추정하는 데 사용될 때 오차 MAPE는 20%를 나타냄을 의미한다. 우량계가 5개까지 증가함에 따라 MAPE는 약 10%로 감소하고 우량계가 8개까지 증가함에 따라 약 5%로 감소하여, 8개 이상에서는 우량계 수가 유역 평균 우량의 추정 오차에 미치는 영향이 상대적으로 미미하게 작용하는 것으로 나타났다.
Table 2
Average Value of MAPE (%) According to the Coefficient of Rain (Ng)
Fig. 4
Average Value of MAPE (%) Versus Coefficient of Rain (Ng), Decreasing MAPE for All Interpolation Methods as Rain Coefficient Increases
MAPE 결과와 마찬가지로 면적 평균 강우량을 계산하는 데 사용되는 우량계 수가 증가함에 따라 레이더 그리드 강우에서 추정된 면적 평균 강우에 비교해 4가지 내삽 방법 간의 MPE도 감소하는 것으로 나타났다. Fig. 5는 4가지 내삽 방법 간의 MPE를 산정한 결과이다. MAPE와는 달리, MPE는 우량계의 수에 따라 명확한 추세를 보여주는데 IDW는 과소 추정(최대 6.0%) 하는 반면 TSN은 과대 추정(최대 11.9%)하는 경향이 있고, KRG와 MQI는 2개 미만의 우량계가 사용될 때 약간 과대 추정하는 경향이 있지만, 2개 이상의 우량계를 사용하면 전반적으로 명확한 편의 추세는 나타나지 않았다. Fig. 6에서 MPE의 평균값은 Fig. 5에서 추출한 것으로, 노란색 선은 Ng에 대한 TSN의 MPE, 파란색 선은 IDW의 MPE, 녹색 선은 KRG의 MPE, 검은 선은 MQI의 MPE를 나타낸다. 그리고 빨간색 히스토그램은 표준 유역의 수, 파란색 점선은 IDW의 MPE의 적합 곡선, 노란색 점선은 TSN의 MPE 적합 곡선이다.
4.2 면적평균 강수량 산정 시 강수량계 분포 형태에 따른 효과
면적평균 강수량을 계산하는 데 사용되는 강수량계의 수가 증가함에 따라 MAPE가 감소한다는 것은 Fig. 3에서 분명하나 MAPE의 평균값(Fig. 4의 원 표식)은 유사한 수의 우량계에서도 불규칙하게 나타났다. 이로부터 면적 평균 강우 추정에 영향을 미치는 우량계의 밀도 외에 다른 요인이 있을 수 있다고 가정 할 수 있는데, 유역의 모양과 우량계의 위치가 고정되어 있기 때문에 이것은 다양한 강우 특성에 기인할 수 있다고 가정하는 것이 합리적이다. Fig. 7과 같이 집수 형태와 사용된 우량계의 수는 유사하지만, 우량계의 배치로 인해 면적 평균 강우량이 상당히 다를 수 있다. 그 이유는 강우 사상의 모양과 움직임에 따라 유역 평균 우량 산정을 위한 각 우량계의 가중치가 달라지기 때문이다. 또한 앞 절에서 시뮬레이션 한 바와 같이 TSN과 같은 우량계를 기반으로 한 내삽 방법은 우량계의 밀도가 낮고(예로, 우량계 사이의 거리가 구름 폭에 비해 먼 경우) 강우량이 일정 지역에 편중되어 위치한 경우 특정 우량계 강우로 인해 면적 평균 강우량이 과대평가 될 수 있고, 우량계가 없는 지역은 평균 강우량이 과소평가 될 수 있다. 결과적으로 과대 및 과소 추정된 강우, 즉 이상치가 반복적으로 발생할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 우량계의 다양한 배치에 따른 면적 평균 강우의 이상치(예 : 과대 및 과소 추정값) 빈도를 분석하였다. 우량계의 분포는 우량계 위치 간의 상관관계(피어슨 상관계수)로 표현되는데 Fig. 7은 우량계 분포의 개념도를 나타낸다. Fig. 7의 왼쪽과 같이 우량계가 방사상으로 분포되어있는 경우 우량계 위치 간의 상관계수가 작고, Fig. 7의 오른쪽과 같이 우량계가 선형으로 분포된 경우 우량계 위치 간의 상관계수가 크게 된다.
강수량계 분포에 따른 이상치 발생 여부를 조사하기 위해 이상치 발생 빈도와 강수량계 위치의 상관관계를 산정해 보았다. 이상치는 소위 표준편차 3배 법칙(three sigma rule of thumb)을 기반으로 정의 되는데, 평균값보다 3배 표준 편차 밖에 있는 추정된 면적평균 강수량은 이상 값으로 간주된다.
Fig. 8은 강우 사상의 면적 평균 강우 이상치 수와 664 개의 표준 유역에서 우량계 위치의 상관 계수 간의 관계를 나타낸 것이다. Fig. 8에서 볼 수 있듯이 강수계 위치 간의 상관관계가 증가함에 따라 이상치를 포함하는 강우 사상의 수가 증가하는 것으로 나타났다. 이는 우량계가 선형 형태로 배치되어 있을 때 이상치가 발생할 가능성이 더 높다는 것을 의미한다. 특히 상관계수가 0.7일 때 전후로 이상치 발생 기울기가 0.83에서 1.44로 변하는데, 이는 우량계 분포의 선형성이 강할수록 이상치 발생 빈도가 급격히 커지는 경향이 있음을 의미한다. 따라서 우량계 밀도뿐만 아니라 우량계 분포 형태도 면적 평균 강우 추정의 정확도에 영향을 미친다는 것을 알 수 있다. 이는 작은 유역에서 면적 평균 강우량을 과대 또는 과소 추정하지 않기 위해 우량계의 밀도와 배치가 중요하다는 것을 의미한다.
4.3 면적평균 강수량 산정 시 강수 사상의 이동 방향에 따른 효과
우량계의 분포와 강우 사상의 움직임은 면적 평균 강우의 크기뿐만 아니라 면적 평균 강우의 시간적 분포에도 영향을 미친다. 이를 조사하기 위해 우량계 기반 면적 평균 강우와 레이더 기반 면적 평균 강우의 시계열간 최대 강우 발생 시간을 비교하였다. Fig. 9는 우량계 배치 및 강우 이동에 따른 최대 강우 발생 시차의 예를 보여 준다. 우량계는 표준 유역 102307의 외부 오른쪽 하단(검은 색 원)에 있는데, 강우 사상이 성장할 때(시간 at 및 at+1) 폭풍이 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하기 때문에 우량계에 의한 최대 면적 평균 강우량(Gat, Gat+1)은 레이더 데이터에 의한 최대 면적 평균 강우량(Rat, Gat+1)보다 더 일찍 발생한다. 그러나 강우 사상이 쇠퇴하기 시작하는 시기(시간 bt 및 bt+1)에는 폭풍이 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하기 때문에 레이더에 의한 최대 면적 평균 강우량(Rbt, Gbt+1)은 우량계에 의한 최대 면적 평균 강우량(Gbt, Gbt+1)보다 더 일찍 발생한다. 이 경우, 유역 외부에 우량계가 하나만 있기 때문에 포인트 강우량은 면적 평균 강우량과 동일하고, 폭풍의 중심이 우량계를 통과하면 면적 평균 강우량이 과대 평가 될 수 있다. 이 결과는 유사한 수의 우량계 중 Fig. 5에서 MAPE가 불규칙한 또 다른 이유가 될 수 있다. 이 결과로부터 정확한 면적 평균 강우를 계산하기 위해서는 우량계의 수뿐만 아니라 우량계 배치의 등방성 및 균등성이 매우 중요하다는 결론을 내릴 수 있다.
5. 결 론
본 연구의 주요 목적은 4가지 공간 내삽법의 결과를 비교하여 지역 평균 강우 추정에 대한 유역 면적, 우량계 밀도, 우량계 분포 및 강우 이동 방향의 영향을 평가하는 것으로 결과는 다음과 같이 요약 할 수 있다.
우량계 밀도의 영향(즉, 유역의 우량계 수)과 관련하여 면적 평균 강우량을 계산하는 데 사용되는 우량계 수가 작을수록 MAPE가 커진다. MAPE는 면적 평균 강우량을 추정하는 데 단 하나의 우량계 만 사용했을 때 20%를 나타났고, MAPE는 5개까지 우량계 수가 증가하면 약 10%까지 감소한 다음, 8개까지 우량계 수가 증가하면 약 5%까지 감소하였다. 유역 면적이 500 km2 미만인 작은 유역에서 정확한 면적 평균 강우량(MAPE 5% 미만)을 얻으려면 8개 이상의 우량계가 필요하나, 작은 유역에서는 8개 이상의 우량계를 배치하는 것이 매우 어렵기 때문에 레이더 강우 자료를 사용하는 것을 적극 고려해야 한다. IDW 방법은 면적 평균 강우량을 과소 평가하는 경향이 있는 반면 TSN은 과대 평가하는 경향이 있는 것으로 나타나, KRG 및 MQI를 소규모 집 수지에서 평균 강우량을 추정하는 데 권장한다. 우량계 위치 간의 상관관계(우량계 분포의 선형성)가 증가함에 따라 이상치가 발생하는 강우 사상의 수가 증가하고, 특히 상관 계수가 0.7을 초과하면 이상치가 급격히 증가한다. 이는 우량계가 선형적으로 배치되어 있을 때 이상치가 발생할 가능성이 더 높다는 것을 의미이므로, 면적 평균 강우를 과대 또는 과소평가하지 않기 위해서는 우량계의 형태와 분포에 대한 고려가 중요하다. 강우 이동의 방향에 따라, 특히 유역에 우량계가 희박한 경우 우량계 자료와 레이더 자료를 사용할 때 면적 평균 강우량의 시간적 분포가 다르게 나타날 수 있다. 본 연구는 소규모 유역에서 우량계 강우 자료를 사용할 때 면적 평균 강우 추정에 한계가 있음을 분명히 보여 주었다. 또한 서로 다른 내삽법을 적용 할 때 면적 평균 강우의 차이를 제시하여 조건 별 내삽 방법을 선택해야하며, 면적 평균 강우의 정확도를 높이기 위해 우량계를 어떻게 분포시켜야하는지에 대한 지침을 제공을 제공하였다. 면적평균 강우량은 강우-유출 모형의 입력으로 사용되기 때문에, 유역평균 강우 추정시 공간 내삽 방법에 의한 우량계 자료의 사용과 레이더 강우 자료의 사용에 대한 영향을 실증적으로 비교하기 위해 추가 연구가 필요하다.
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