혼합 정수계획 모형을 활용한 제한급수 계획
Restricted Water Supply Planning by Using Mixed Integer Programming Model
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Abstract
용수 부족은 우리의 일상생활에 큰 불편을 초래한다. 따라서 제한된 물을 효율적으로 할당함으로써 물 부족의 영향을 최소화할 필요가 있다. 즉, 기존의 상수 공급망을 분석하고 최적화하는 것이 매우 중요하다. 이에 본 연구에서는 용수가 충분치 않은 상황에서 상수관망의 블록 단위별 공급량을 적절히 배분할 수 있는 수학 모형을 제시하였다. 이 모형은 각 블록의 목표미달에 따른 총 벌점을 최소화하는 목표 계획 모형을 근간으로 하여 용수부족의 총량을 최소화할 뿐 아니라 용수 부족 발생이 특정 블록에 편중되지 않도록 설계되었다. 이 모형을 실제 상수 관망에 적용한 결과 심각한 용수 부족현상과 용수 부족의 편중현상을 최소화할 수 있는 것으로 나타났으며, 이를 통해 모형의 실용성을 확인할 수 있었다.
Trans Abstract
Water shortages may cause trouble to people’s life. Therefore, the damages of water shortages must be minimized by allocating water resources efficiently. In order to overcome this problem, it is necessary to analyze and optimize water distribution network. Therefore, we present a mathematical model for optimal allocation of water resources among samll blocks in the water supply network for situations where water supply is restricted. The model is a mixed-integer goal programming model that does not only minimize the total amount of water shortages but also the number of occurrences of water shortages considering the priorities of water demands for small blocks. With the model, we can minimize the severity and balance the occurrences of water shortages among each water block and verify the utility of the model.
1. 서론
물은 다른 자원으로 대체할 수 없는 자원이며 이러한 물을 도시지역에 안정적으로 공급하는 상수관망은 도시의 기본적인 기능을 유지할 수 있도록 해 주는 핵심적인 시설이라고 할 수 있다. 상수관망의 기본적인 역할은 필요한 수량을 적정 수압을 확보하여 보내는 것이다. 물론 수리학적인 조건뿐 아니라 수질적 안정성도 확보해야 한다. 국내의 경우 상수관망의 운영상에서 수질적 문제보다는 상수관 파괴, 취수중단 등 수량과 압력의 수리학적 조건을 만족하지 못한 경우가 대부분이다. 특히 장시간 동안 사고등에 의한 단수는 주로 취수장의 취수중단이나 송수관과 같은 단선으로 이루어진 주요 공급 관로의 파손에 의해서 나타난다. 이에 대한 자세한 조사 결과는 Table 1과 같다. 또한 최근에 빈번히 발생하고 있는 가뭄에 따라서 지역별로 원수의 확보가 어려운 실정에 있다. 예를 들어 2016년의 보령댐 도수로 공사는 가뭄에 의해서 취수량 확보가 얼마나 어렵고 대비가 필요함을 나타내는 좋은 예라고 할 수 있다. 2016년 이전에도 제한급수의
Several Water Shortage Metrics Under Different Component Failures in Water Supply Systems
사례는 다양하다. Kim and Buen(2003)에 의하면 1994년에서 1996년 3년 동안 총 52개 시군에서 134만 명이 제한급수가 실시되었다. 2000년 이후에 발생한 물 부족에 의한 제한급수는 2001년도 86개 시군에서 30만 명이 영향을 받았으며 2008년과 2009년 사이에 77개 시군에서 약 28만 명이 피해를 입었다. 특히 2009년의 태백지역의 극심한 가뭄에 의한 취수량 부족으로 인한 장기 제한급수는 막대한 피해를 야기했으며 장기적으로 취수량 확보의 중요성을 알리는 계기가 되었다.
취수량 부족이외에도 상수도 구조물의 파손에 의해서 발생하는 단수는 또 다른 제한급수를 고려해야 할 요인이다. 관로사고의 경우 대부분 12시간 이내에 복구가 가능하지만 취수장이나 송수관 사고에 의한 단수는 피해범위와 단수시간이 제한급수를 고려할 정도로 큰 사례가 있다. 2011년도 5월에 구미시의 해평취수장 보 유실로 인한 단수는 약 30,000세대에 120시간 정도 단수가 있었으며 2010년 7월의 해남군 어란마을과 어불도 간 설치된 해저 송수관로 파손에 의한 단수는 약 100시간 정도 지속되었다. 가압장 관련된 장기단수 사례는 해남군에서 2012년 8월에 태풍으로 인한 정전으로 72시간 동안 송수가 중단된 사례가 있다.
이와 같이 다양한 원인에 의한 장시간 단수는 피할 수 없는 문제이며 단수피해를 최소화 하기 위해서는 제한된 공급량을 적절히 배분하여 공급하는 것이 필요하다. 즉, 전체 상수관망에서 필요한 물을 압력과 수량으로 공급할 수 없는 경우 선택과 집중을 통해서 순차적으로 배분하는 방안의 수립이 필요하다. 이에 대한 대표적인 연구사례는 물공급과 수요를 함께 고려하여 물 분배를 실시하여 수문-경제(Hydro-Economic) 효과를 최대화하는 시나리오 기반의 모델이 있다. 그리고 Manchikanti(2009)는 물 분배와 공급시점을 최적화하는 방법을 공간 및 시점으로 분석한 연구가 있다. 그 밖에도 선형계획, 동적계획, 비선형계획, 또는 발견적 기법 등이 활용되고 있다(Lansey, 2008). 그러나 이와 같은 선행연구는 대부분 광역상수도와 같은 대규모 물공급을 위한 방안이나 농업용수 공급을 위한 방안에 촛점이 맞추어져 있어서 블록화가 진행되어 블록별 물공급 방안의 수립이 필요한 상수관망에 적용은 어려운 점이 있다. 이런 배경에서 Kim and Jun(2013)은 상수관망의 개별 블록에 제한급수를 실시하기 위한 연구를 제시하였다. 그들의 연구에서는 제한급수에 따른 피해를 줄일 수 있는 용수 공급 방안을 제시했다는 점에서 의의가 있다. 그러나 가상의 예제를 대상으로 하여 간략화한 모형을 활용했다는 점에서 한계가 있다. 이에 본 연구에서는 실제 상수 관망을 대상으로 하고, 단순히 물부족량을 최소화하는 것에서 나아가 물부족 횟수를 최소화하는 등, 실용성을 보완하였다.
본 연구의 이후 구성은 다음과 같다. 먼저 2장에서는 모형의 적용 대상 지역을 소개한다. 그리고 3장에서는 용수부족량과 부족 횟수를 고려한 혼합정수계획 모형을 설명한다. 그리고 4장에서는 실제 상수관망에 대한 적용을 통해 모형의 성과를 소개한다. 그리고 마지막 5장에서는 결론 및 추후 연구 과제를 제시한다.
2. 제한급수 필요 사례 및 적용 대상 관망
2.1 제한급수 필요 사례 조사
제한급수가 필요한 사례와 원인을 파악하기 위하여 전국의 다양한 단수사고 사례 2076건을 수집하였다. 주된 자료의 출처는 서울시 상수도사업본부의 ‘상수도 사고 사례집(2010)’, 수자원공사의 ‘광역상수도 수도사고 사례집(2015)’, ‘수도사고이력(1980-2010)’, ‘최근 수도 사고현황(2011)’ 및 신문기사(2008년-2016년)였다. 2076건 중에서 단수시간과 단수범위(세대 기준)의 자료를 갖춘 사례는 266개였으며, 이를 Table 1과 같이 사고 원인을 분류한 결과, 주로 배관(29.7%), 정수장(19.55%), 지선(16.92), 배수지(6.39%) 등에서 발생하고, 수질사고는 4.51%에 불과한 것으로 나타났다.
Table 1에서 알 수 있듯이 9개의 사고 소분류 중에서 72시간 이상의 최대 단수시간을 야기 할 수 있는 것은 배수지와 배수간선 및 지선을 제외한 나머지 원인들이 장시간의 단수를 야기할 수 있음을 알 수 있다. 즉, 원인은 다양하지만 3일 이상의 장기단수를 야기할 가능성은 어느 상수관망에서나 발생한다는 것이다. 이러한 경향은 기후변화에 의한 잦은 가뭄발생과 상수관 시스템 노후화에 따른 고장 가능성 증대로 갈수록 악화될 것이다. 따라서 장기 단수가 발생하기 전에 지자체 별로 제한급수에 따른 블록별 물공급 방안을 수립하여 단수에 의한 피해를 저감할 수 있도록 해야 할 것이다.
2.2 적용 대상 상수관망
본 연구의 사례연구 대상인 문산정수장의 공급계통은 Fig. 1과 같다. 정수장 내 배수지에서 배수본관 D1000 mm와 D800 mm계통으로 금촌동 및 조리읍, 탄현면까지 공급하고 있으며, D600 mm계통으로 파평면과 적성면까지 공급하고 있다. 공급구역 내 시설현황으로는 법원배수지와 광탄배수지가 먼저 가동을 시작하였고 2011년 탄현면 통일동산 일원과 적성면 일원을 공급하기 위한 탄현배수지와 적성배수지가 건설되어 모두 5개의 배수지가 운영되고 있다. Table 2는 각 배수지의 공급 능력을 정리한 것인데, 문산 배수지가 절대적인 비중을 차지한다. 아울러 소블럭까지 나타낸 상세 정보는 Table 3과 Fig. 2와 같다.
Water Distribution System of the Munsan Water Purification Plant
Water Distribution Reservoir Under Munsan Purification Plant System
Facilities Under Munsan Purification Plant
Network ConFiguration of Munsan Purification Plant
Inflow Data of Each Scenario unit: m3/d
3. 제한급수를 위한 블록별 용수공급량 결정 모형
3.1 수리모형
이 모형은 상수관망 네트워크의 물리적인 제약하에서 미충족을 최소화하는 것을 목적으로 한 것으로, Kim and Jun(2013)에서 제시된 내용을 토대로 하고 있다. 따라서 일부 중복되는 내용은 설명을 생략하고, 과거 연구와 달라진 부분을 중심으로 설명하고자 한다.
[상수 정의]
Lt : t시점의중앙배수지의저수하한
Ut : t시점의중앙배수지의저수상한
It : t시점의중앙배수지로의유입량
Di,l,t : t시점의 i블록의 l순위용수수요량
Di,t : t시점의 i블록의용수수요량
TNi : 노드 i의하위노드(배수지또는블럭을의미)
HNi : 노드 i의상위노드(배수지또는블럭을의미)
Ci,l,t : t시점 i블록 l순위 수요의미충족에대한벌점
M: 전 블록의 수요량의 합보다 조금 큰 상수
Ρ: 1보다 매우 작은 양의 상수
[변수 정의]
St : t시점의중앙배수지의저수량
Rt : t시점의중앙배수지의총공급량
Wi,l,t : t시점의i블록의l순위수요에대한공급량
Hi,l,t : t시점의 i블록의l순위수요에대한미충족량
Fi,j,t : t시점의 i블록에서j블록으로의흐름량
Y : 물부족비율값을 계산하는 변수
Z : 총 물부족횟수를 계산하는 변수
[제약식]
먼저 Eqs. (1)~(6)은 Kim and Kim(2013)에서 제시된 것으로 각각 중앙 배수지의 저수 제약, 중앙 배수지에 대한 저수량 보존식, 공급량 및 미충족량의 정의, 수요 세분화, 중앙배수지 물 공급, 흐름량 보존 제약, 물 부족의 평준화를 위한 것이다. 그리고 Eqs. (7)~(10)은 기존 모형에 추가된 부분이다. 먼저 Eq. (7)은 물 부족 비율의 최소화를 목적으로 하여, 물 부족 비율치를 계산하는 식이다. 그리고 Eqs. (8)과 (9)는 물부족 여부를 나타내는 이진정수 변수가 물부족이 있는 경우에 한해 1의 값을 갖게 하고, Eq. (10)은 그 물부족 횟수의 최대치를 계산하는 역할을 한다.
[목적함수]
Eq. (11)은 목적함수를 계산하는 식으로, 총 물부족량와 합과 그 최대치를 최소화하는 기존 연구에 더해, 물부족 횟수를 최소화하기 위한 항목(Z)이 추가되었다.
4. 모형 적용 결과 및 분석
4.1 대상 네트워크 소개
문산정수장에서 공급받는 5개의 대블록을 대상으로 하여 앞서 제시한 모형을 수행하였다. 각각의 대블록은 Fig. 2에서 보는 바와 같이, 중블록과 소블록으로 세분화되며, 결과적으로 문산배수지가 22개의 소블록, 법원배수지가 2개, 광탄배수지가 3개, 탄현배수지가 2개, 그리고 적성배수지가 2개의 소블록으로 구성된다. 이 중 적성배수지는 과거 2개의 소블록으로 구성되었던 것을 장래 수요 증가를 고려하여 하나의 소블록을 추가하여 3개의 소블록로 구성하였다.
4.2 입력자료
수요량은 2015년 기준 자료를 사용하였다. 이때 각 소블록의 수요량은 그 내용에 따라 다음의 원칙을 적용하여 우선순위를 부여하였다. Fig. 3은 그 개념을 이해하기 쉽게 나타낸 것으로, 문산 중블럭 1,2,3에 대한 예시에 해당한다.
Concept of Demand Partitioning According to Their Priorities
- 1순위: 생활에 필요한 최소한의 수요와 일정 수준 이상의 공업용수 수요로 전체 수요의 50%를 할당
- 2순위: 1순위를 제외한 공업용수 수요의 잔여분
- 3순위: 아파트밀집지역과 일반주거지역의 생활 용수로, 생활용수 전체의 40%를 할당
- 4순위: 일반주거지역의 나머지 수요
배수지로의 총 유입량은 일별 총수요량(79,332 m3)을 기준으로 하였으며, 시나리오 A에서는 t=1시점 100%, t=2시점 90%, t=3시점 105%, 그리고 t=4시점에 100%가 유입된다고 가정하였고, 시나리오 B에서는 t=1시점 100%, t=2시점 70%, t=3시점 105%, 그리고 t=4시점에 90%가 유입된다고 가정하였다.
아울러, 초기에 1일 분의 수요량(79,332 m3)을 보유하고 있다고 가정하였으며, 배수지에서는 항상 최소 1일 분의 수요량만큼 안전재고를 보유해야 한다고 가정하였다. 그리고 Table 6은 각 소블록, 기간별 수요량에 대한 입력자료다.
Demand Data unit: m3/d
끝으로, 목적함수에서 수요 미충족에 대한 가중치(벌점)은 1~4순위가 선취적(preemptive) 우선순위를 갖도록 Table 5와 같이 부여하였다. 이 수치는 절대적인 의미를 갖는 것은 아니고, 우선순위를 구분하기 위해 상대적으로 차이를 준 것에 불과하다.
Penalty on Water Shortage unit: m3/d
4.3 모형의 구현
최적화 모형의 구현에 앞서 우선 최적화 프로그램들을 비교 검토하였으며, 이 중 사용자 편이성이 우수한 EXCEL에서 수행할 수 있는 Premium Solver Platform을 선택하였다. Frontline Systems사의 Premium Solver Platform을 적용하면 제한 조건식이나 목표셀을 선형으로 표현하기 위해 노력할 필요가 없으며, 상대적으로 적은 시간에 좋은 가능해를 얻을 수 있다. 그리고 이 소프트웨어는 Standard Simplex, Standard GRG Nonlinear Solver등의 기능을 제공한다. 본 연구에서 사용되는 모형은 혼합정수 목표계획법으로 설계되었으며, Excel Solver의 기본 기능을 통해 풀린다.
4.4 적용 결과 분석
먼저 Table 7은 서로 다른 유입량 시나리오를 반영한 최적화 결과를 요약한 것이다. 이는 사전에 충분히 예상할 수 있는 수준으로, 유입량을 적게 가정한 시나리오 B를 반영한 결과에서 물부족이 27,768 m3으로 시나리오 A보다 많은 양의 물이 부족했다. 특히 공급이 부족했던 첫 번째와 두 번째 기간에서 보다 심각한 물부족 현상이 발생했다.
Results - outline
Detailed Results for Inflow Scenario A unit: m3/d
Detailed Results for Inflow Scenario B unit: m3/d
보다 자세한 결과를 보면, 먼저 유입량 시나리오 A를 적용한 결과의 경우, 전체 물 부족량이 15,868 m3이었지만 공급 우선순위가 높은 수요는 모두 충족을 했으며, 우선순위가 낮은 4순위 수요에 대해서만 일부 미충족이 발생했다. 즉, 모든 소블록에서 필수적으로 필요한 생활용수와 우선순위가 높은 공업용수 등을 우선적으로 충족하고, 각 소블록의 수요 중 약 10%에 해당하는 4순위 수요에 대해서만, 일부 또는 전체를 충족하지 못했다. 따라서 특정 지역에 심각한 물부족이 발생하는 편중 현상이 나타나지 않았으며, 결과적으로 각 소블록의 공급률은 Fig. 4의 공급률 비교 그래프에서 보는 바와 같이 모두 90~100%에 해당되었다. 즉, 개발된 모형을 실제 정수장 계통에 적용한 결과, 물부족이 불가피할 경우에 물공급이 편중되지 않도록 함으로써 심각한 피해를 최소화할 수 있음을 확인하였다.
Results - Fulfillment Ratio for Scenario A
유입량을 줄인 시나리오 B를 적용한 결과에서는 4순위뿐 아니라, 3순위 수요에 대해서도 일부 미충족이 발생했다. 특히 법원, 광탄, 탄현의 일부 소블록에서는 유입량이 부족했던 첫 번째 기간의 경우 4순위 뿐 아니라 3순위 수요까지 충족하지 못하는 결과가 나타났다. 그러나 이 경우에도 상위 순위의 수요에 대해서는 충족하고 있어, 모형에서 의도했던 ‘우선순위를 고려한 공급’이 정상적으로 구현됨을 확인할 수 있었다. 그리고 이때의 공급률은 Fig. 5에 나타낸 바와 같이 적어도 50% 수준을 넘고 있다.
Results - Fulfillment Ratio for Scenario B
또한, 1,2순위에 대한 수요는 모두 만족하고 있으며, 상위 순위의 수요를 제치고 하위 순위의 수요가 먼저 충족되는 경우는 없어, Table 5에서 적용한 선취형 가중치가 효과적으로 적용됨을 확인할 수 있다. 즉, 제한급수가 불가피한 상황에서 사용 용도에 따른 우선순위에 입각해서 최적의 용수 배분을 했음을 알 수 있다.
한편, 일부 블록에서 4순위 수요 일부가 아닌 전체를 충족하지 못한 것은 선형계획법의 최적해가 극점(extreme point)을 취하는 특성에 기인한 것이다. 이 특성으로 인해 일부 블록의 4순위 수요가 모두 충족되지 못한다 하더라도 전체적으로는 최하 50% 이상의 충족률을 보여 물공급 과정에서 편중 현상은 심하지 않다고 볼 수 있다. 그러나 이것 역시 개선하고자 한다면 4단계로 구분된 순위를 더 세분화함으로써 간단히 해결할 수 있다. 즉, 실제 적용 과정에서는 수요량 자료만 더 세분화하면 된다.
끝으로, Fig. 5의 그래프를 살펴보면, 시나리오 A에 비해 전체적인 공급률이 낮아진 상황에서 특히 광탄, 탄현, 적성 지역의 공급률이 더 떨어졌는데, 이는 1,2순위를 우선 만족한 후 3순위 일부가 충족되지 못한 것이다. 그러나 어떤 경우에도 적어도 50%의 공급률를 보여서 당초 모형이 의도했던 물배분이 효과적으로 이뤄짐을 알 수 있었다.
5. 결론
본 연구에서는 용수가 충분치 않은 상황에서 상수관망의 블록 단위별 공급량을 적절히 배분할 수 있는 혼합정수 목표계획 기반의 수학 모형을 제시하였다. 이 모형은 용수부족의 총량을 최소화할 뿐 아니라, 용수 부족의 최대치와 발생 횟수의 최대치를 최소화함으로써 특정 블록에 편중되지 않도록 설계되었다. 이 모형을 파주 지역의 실제 상수 관망에 적용한 결과 의도한 대로 용수 공급의 편중현상을 최소화하면서, 효과적으로 물 공급을 할 수 있음을 확인하였다.
그러나 본 연구에서는 일별 수요량을 사용하여 일단위 공급 계획을 목적으로 하였다. 그러나 보다 현실적인 운영을 위해서는 분석 단위기간을 세분화하여 시간단위까지 고려하는 것이 바람직하다. 따라서 향후 연구에서는 하루를 5개 내외의 시간대로 세분화해 시간대별 물공급량을 결정하는 방안을 시도하고자 한다. 즉, 블록이 가진 하루 수요패턴의 차이에 의한 시간대별 물수요량의 중요도 차이를 고려할 수 있으면 제한된 공급가능 수량의 효용을 최대화 할 수 있을 것이다. 예를 들어 주거지 위주의 블록은 출근 시간대와 퇴근시간대 물수요가 특히 중요하고 상업지역의 경우 낮과 저녁 늦은 시간에 물수요가 많을 것이다. 공업지역의 경우 시단위 물수요량 변동이 크지 않다. 따라서 블록별 시간대별 물공급량을 결정할 수 있으면 일단위 물공급 방안에 비해서 더욱 효과적인 방법을 제안할 수 있을 것이다. 또한 추가 연구를 통해 각 링크에 펌프가 있는 경우를 고려하여 에너지 비용까지 포함한 모형으로 발전할 수도 있을 것이다.
감사의 글
이 논문은 2015년도 전북대학교 연구교수 연구비 지원에 의하여 연구되었음.