Yarin (2012)에 따르면, 주요 관심사인 선대칭 축의 흐름을 주도하는 가장 중요한 매개 변수는 방출된 Q_Z (예: 와트로 측정) 또는 Q_Y = Q_Z/(ρc)이다. 여기서 ρ와 c는 가스의 일정한 압력에서 밀도와 비열이다. 특히, 축 대칭 플룸에서

여기서, u는 플룸 내의 종 방향 속도성분이고, T는 플룸 내의 온도 분포이며, y는 플룸 축으로부터 계산 된 임의의 플룸 단면에서의 반경 좌표이다(현재의 경우 수직 축은 x). Q_Y (또는 Q_Z)의 값은 항상 알려지고 주어진 매개 변수로 간주된다. 현재의 경우 두 값은 2π로 나뉘어진다.

상승하는 플룸을 따르는 최대 종 방향 속도는 u_max이라 할 때, 난류의 축 방향 대칭성 플룸에서 다음과 같이 u_max에 대한 식으로 표현된다(Yarin, 2012, 첫 번째 Eq. (1)).

여기서 β는 열팽창 계수(가스의 알려진 물리적 매개 변수)이고 g는 중력 가속도이다.

플룸의 높이가 L인 경우, Eq. (1)는 플룸의 상부에서 부력에 의한 속도는 다음과 같다.

유사하게, 그러한 플룸의 축 방향에서 최대 온도 T_max는 다음과 같이 주어진다(Yarin, 2012, 두 번째 식에서 오차수정. Eq. (2)).

따라서, 플룸 상부 Ttop에서 연기를 운반하는 가스의 온도는 다음의 관계를 갖는다.

상승하는 플룸에 의해 발열원 주변으로부터 공기를 쉽게 흡입하도록 허용하는 경우, 자유 플룸에 의한 체적 유량 Vol은 다음과 같으며

자기 유사 공식은 다음과 같이 표현된다.

따라서, 플룸 상단 Vol_top을 통한 체적 유량은 다음과 같이 표현되며

이것은 플룸 상부에서의 연기 농도가 발열원에서의 L^-5/3에 비해 감소한다는 것을 의미한다.

여기에서 이론식 Eqs. (2)와 (4)에 대한 scaling factor로 각각 6.458와 6.4를 사용하였으며 이론식 Eq. (7)에 대한 constant는 0.015를 사용하였다.

블랙 풍선의 수치해석을 위하여 FDS (Fire Dynamics Simulator) version 6.7.0을 사용하였다. 수치해석에 앞서 수치해석 모델을 검증하기 위해 격자계의 해상도 테스트를 수행하였다.

최적의 격자 간격을 찾기 위해 사용된 도메인의 크기는 20 × 20 × 20 m³이며 이것을 120 × 120 × 120 (1.73M nodes), 200 × 200 ×200 (8.00M nodes), 240 × 240 × 240 (13.82M nodes), 320 × 320 × 320 (32.77M nodes)의 4가지 격자계를 사용하여 그 결과를 비교하였다.

도메인의 바닥면 중심으로부터 높이 10 m지점에 반지름 R = 5 m인 블랙 풍선의 중심이 오도록 배치하였고, 블랙 풍선의 형상을 FEM으로 모델링하여 사용하였다.

초기 조건으로 도메인 내부와 외부에서 발생하는 초기 유동 및 강제 유동은 없는 것으로 설정하였고, 경계 조건으로 도메인의 6면을 개방상태로 적용하여 경계면에서 물질의 이동이 도메인의 내부 및 외부에서 자유롭게 발생하도록 하였다. 또한 블랙 풍선의 표면에는 벽면에서 발생할 경계층를 고려하여 no-slip 조건으로 설정하였다.

블랙 풍선 내부에서 발생하는 열전달 및 대류현상은 고려하지 않았고, 하나의 강체로 가정하여 태양으로부터 전달받은 복사 에너지는 블랙 풍선의 표면에서 모두 등방향성의 대류 열류로 전환되고 표면에서 대기로의 복사 열류는 없는 것으로 가정하였다. 그리고 대한민국 서울의 봄과 가을의 평균 일사량을 참고하여 대류 열류 q = 600 W/㎡가 일정하게 블랙 풍선의 표면에서 발열하는 것으로 설정하였다.

실제의 상황에서 블랙 풍선이 높은 상공에 설치될 것을 고려하여 수치해석에 사용될 대기의 조건을 상공 1 km로 가정하고 미국 NASA (1976)의 ‘1976 Standard Atmosphere’를 참조하여 기온은 281.6 K, 기압은 89874.6 Pa의 상태를 사용하였으며 대기의 습도는 고려하지 않았다.

블랙 풍선의 발열에 의해 수직으로 상승하는 플룸이 발생하고, 이로 인해 Fig. 1과 같이 블랙 풍선의 아래에서 위 방향으로 주유동이 형성이 된다. 그리고 주유동 방향으로 형성되는 유동의 최대 수직유속(vertical maximum velocity) u_max와 체적 유량(volume flow rate) Q˙을 정량적으로 측정하기 위해 도메인의 바닥면과 천장면을 통과하는 체적 유량을 측정하였고, 바닥면 중앙과 천장면 중앙에서 수직상승하는 플룸의 최대 수직 유속 u_max를 측정하였다.

Fig. 2는 도메인의 바닥면과 천장면에서의 최대 수직 유속 u_max와 체적 유량 Q˙ 의 변화를 격자 간격 별로 시간에 따라 분석한 그림이다. Fig. 2(a)는 도메인의 바닥면 중앙에서의 최대 수직 유속 u_max 변화를 보여주고 있으며 격자별로 정성적인 경향에서는 차이가 크게 없으나, 격자의 크기가 0.062~0.100 m에서 상대적으로 안정적인 값을 보이고 있다. Fig. 2(c)는 도메인의 천장면 중앙에서의 최대 수직 유속 u_max를 보여주고 있으며 모든 격자에서 약 2.2~2.3 m/s를 예측하고 있음을 확인하였다.

Figs. 2(b)와 2(d)는 각각 도메인의 바닥면과 천장면을 통과하는 체적 유량 Q˙의 변화를 보여주고 있다. 바닥면으로 유입된 체적 유량 Q˙이 변화없이 천장면으로 유출되고 있음을 확인할 수 있으며, 격자의 크기가 0.062~0.100 m에서 안정적인 예측이 되고 있지만 격자 크기 0.166 m의 경우 다른 격자에 비해 약 3~5 ㎥/s 정도 과잉 예측하고 있음을 확인할 수 있다.

본 연구에서는 블랙 풍선의 표면 발열량과 크기에 따른 상대적인 변화를 관찰하는 것에 목적이 있으므로, 체적유량에서는 일정한 오차가 발생하지만 수직 유속을 비교적 정확히 예측하고 있는 0.16 m의 격자계를 사용하여 수치해석의 계산효율성을 확보하였다.

블랙 풍선 표면의 발열량 변화에 따라 블랙 풍선의 최대 수직 유속 u_max 및 체적 유량 Q˙의 변화를 비교하기 위하여 3가지 모델을 설정하였다. 블랙 풍선의 발열량에 따라서 표면에서의 대류 열류 q = 300, 600, 900 W/m²으로 구분하고, 세 모델 모두 동일하게 반지름 R = 10 m인 블랙 풍선을 사용하였다. 따라서 대류 열류 q의 증가에 의해 블랙 풍선에서 발생하는 총 발열량 Q_z = 377, 754, 1131 kW가 되게 하였다. 이번 장에서 사용한 블랙 풍선의 반지름 R과 표면적 A, 대류 열류 q 및 총 발열량 Q_z를 Table 1에 정리하였다.

모델링에 사용한 도메인의 크기는 80 × 80 × 120 m³이고, 격자는 500 × 500 × 750개의 정형의 사각격자를 사용하였다. 수치해석에 사용된 초기 조건과 경계 조건은 2.2장에서 사용한 조건과 동일하게 적용하였다.

Fig. 3은 블랙 풍선의 반지름 R = 10 m로 일정하고, 발열량의 변화에 따라 블랙 풍선의 표면에서 발생하는 대류 열류 q = 300, 600, 900 kW/㎡로 증가할 때, 블랙 풍선 상부에서 발생하는 플룸의 수직 유속 u와 온도 T의 변화를 등고선으로 보여주고 있다. 여기서 플룸이 생성되는 지점을 블랙 풍선의 최상부로 가정하고 여기의 높이를 H = 0 m로 정의하면, 이번 장에서 분석하는 세 종류의 대류 열류에서 H = 0 m는 모두 z = 10 m일 때가 된다.

수직 유속 u의 등고선에서는 H = 0 m일 때 수직 유속이 u = 0 m/s로 예측되었고, 플룸이 상승하면서 수직 유속 u가 가속되어 증가하는 것을 확인할 수 있다. 이것은 블랙 풍선에서 발생한 플룸이 자연 부력에 의한 플룸이기 때문에 플룸이 발생하는 블랙 풍선의 표면에서는 수직 유속 u = 0 m/s인 것으로 추정할 수 있다. 그리고 플룸이 수직 상승하는 유속의 크기는 블랙 풍선의 표면에서 발생하는 대류 열류 q가 증가할수록 크게 증가하는 것을 확인할 수 있다. 이것은 대류 열류 q가 증가할수록 H = 0 m에서 생성되는 플룸의 전체 수직 상승 운동량이 증가하기 때문인 것으로 추정할 수 있다.

온도 T의 변화 등고선에서는 H = 0 m일 때 대류 열류 q가 증가할수록 온도 T는 16, 20, 24℃로 예측되었고, 플룸이 상승하면서 온도 T가 점차 감소하여 대기의 온도에 가까워지는 것을 확인할 수 있다. 이것은 블랙 풍선에서 발생한 자연부력 플룸이 수직 상승할 때 주변 공기가 유입되기 때문으로 추정할 수 있다. 또한 블랙 풍선의 대류 열류 q가 증가할수록 플룸의 초기 온도가 높은 H까지 유지되는 것을 확인할 수 있다. 이것은 블랙 풍선의 대류 열류 q가 증가할수록 H = 0 m에서 생성되는 플룸의 온도 T가 높아지고, 초기 플룸의 온도 T가 높아질수록 자연 부력에 의한 수직 상승 운동량이 증가하여 동일한 시간 안에 더 높은 H까지 상승하기 때문인 것으로 추정할 수 있다.

Fig. 4는 블랙 풍선의 반지름 R = 10 m로 일정하고, 발열량의 변화에 따라 블랙 풍선의 표면에서 발생하는 대류 열류 q = 300, 600, 900 kW/m²로 증가할 때, 블랙 풍선 상부에서 발생하는 플룸의 최대 수직 유속 u_max와 온도 T, 체적 유량 Q˙, 단위 면적당 체적 유량 Q˙/㎡의 변화를 높이 H에 대한 그래프로 보여주고 있다. Fig. 4(a)는 3가지 대류 열류 q의 크기에 따라 블랙 풍선의 상부에서 발생하는 플룸의 최대 수직 유속 u_max의 변화를 H = 10 m부터 80 m까지 보여주고 있다. 대류 열류 q = 300, 600, 900 W/m²의 순서대로 H = 40 m 지점에서 최대 수직 유속 u_max가 각각 2.84, 3.59, 4.14 m/s까지 증가하였고 그 이상의 높이에서는 서서히 감소하였는데, 대류 열류 q의 크기에 의해 블랙 풍선 상부에 발생하는 플룸의 최대 수직 유속 u_max는 대류 열류 q의 증가에 비례하여 증가하였고, 그 차이는 높이 H가 증가하여도 계속 유지되는 것을 확인하였다. Fig. 4(b)는 3가지 대류 열류 q의 크기에 따라 블랙 풍선의 상부에서 발생하는 체적 유량 Q˙의 변화를 H = 10 m부터 80 m까지 보여주고 있다. 대류 열류 q = 300, 600, 900 W/m²의 순서대로 H = 10 m 지점에서 체적 유량 Q˙이 각각 166, 206, 236 m³/s이였고 플룸이 수직 상승함에 따라 높이 H = 80 m까지 계속 증가하였는데, q = 300 W/m²일 때 체적 유량 Q˙의 증가율보다 900 W/m²일 때 체적 유량 Q˙의 증가율이 큰 것을 확인하였다. 이를 통해 발열량의 변화에 의해 블랙 풍선 상부에서 발생하는 플룸의 체적 유량 Q˙은 발열량 증가에 비례하여 증가하고, 높이 H가 증가함에 따라 증가율도 커지는 것을 확인하였다. Fig. 4(c)는 3가지 발열량 설정에 따라 블랙 풍선의 상부에서 발생하는 플룸의 온도 T의 변화를 H = 10 m부터 80 m까지 보여주고 있다. 대류 열류 q = 300, 600, 900 W/m²의 순서대로 H = 10 m 지점에서 온도 T는 각각 13.7, 16.8, 19.7℃ 이였고 플룸이 수직 상승함에 따라 높이 H = 80 m까지 계속 감소하였는데, q = 300 W/m²일 때 온도 T의 감소율보다 900 W/m²일 때 온도 T의 감소율이 큰 것을 확인하였다. 이를 통해 발열량의 변화에 의해 블랙 풍선 상부에서 발생하는 플룸의 온도 T는 발열량 증가에 비례하여 높아지지만, 높이 H가 증가함에 따라 감소율도 커지는 것을 확인하였다. Fig. 4(d)는 3가지 발열량 변화에 따라 블랙 풍선의 상부에서 발생하는 체적유량 Q˙을 각 블랙 풍선의 표면적 A로 나누어, 각 블랙 풍선의 단위 면적당 체적 유량 Q˙/㎡의 변화를 H = 10 m부터 80 m까지 보여주고 있다. 대류 열류 q = 300, 600, 900 W/m²의 순서대로 H = 10 m 지점에서 단위 면적당 체적유량 Q˙/m²이 각각 0.132, 0.164, 0.188m³/(s·m²)이였고 플룸이 수직 상승함에 따라 높이 H = 80 m까지 계속 증가하였는데, q = 300 W/m²일 때 단위 면적당 체적 유량 Q˙/m²의 증가율보다 900 W/m²일 때 단위 면적당 체적 유량 Q˙/m²의 증가율이 큰 것을 확인하였다. 이를 통해 발열량의 변화에 의해 블랙 풍선 상부에서 발생하는 플룸의 단위 면적당 체적 유량 Q˙/m²은 발열량 증가에 비례하여 증가해 효율이 높아지고, 높이 H가 증가함에 따라 증가율도 커지는 것을 확인하였다.

블랙 풍선 표면의 발열량이 일정한 상태에서 블랙 풍선의 크기 변화에 의한 최대 수직 유속 u_max 및 체적 유량 Q˙의 변화를 비교하기 위하여 3가지 모델을 설정하였다. 블랙 풍선 표면의 발열량에 의한 블랙 풍선의 대류 열류 q = 600 W/m²로 일정하고, 블랙 풍선의 반지름 R = 5, 10, 20 m로 길이를 증가해 블랙 풍선에서 발생하는 총 발열량 Q_z = 189, 754, 3016 kW가 되게 하였다. 이번 장에서 사용한 블랙 풍선의 반지름 R과 표면적 A, 대류 열류 q 및 총 발열량 Q_z를 Table 2에 정리하였다.

모델링에 사용한 도메인의 크기, 격자, 도메인의 경계면 설정, 블랙 풍선의 표면상태 및 열전달 모델은 2.2장에서 사용한 조건과 동일하게 사용하였고, 모델링에 사용한 대기의 조건도 동일한 가정을 사용하였다.

Fig. 5는 블랙 풍선의 표면에서 발생하는 대류 열류 q = 600 kW/㎡로 일정할 때, 반지름 R = 5, 10, 20 m로 크기가 증가함에 따라 블랙 풍선 상부에서 발생하는 플룸의 수직 유속 u와 온도 T의 변화를 등고선으로 보여주고 있다. 여기서 플룸이 생성되는 지점을 블랙 풍선의 최상부로 가정하고 여기의 높이를 H = 0 m로 정의하면, 이번 장에서 분석하는 3가지 블랙 풍선의 크기에서 H = 0 m는 각각 z = 5, 10, 20 m일 경우가 된다.

수직 유속 u의 등고선에서는 H = 0 m일 때 수직 유속 u = 0 m/s로 예측되었고, 플룸이 상승하면서 수직 유속 u가 가속되어 점차 증가하는 것을 확인할 수 있다. 그리고 플룸이 수직 상승하는 유속의 크기는 블랙 풍선의 반지름 R이 증가할수록 크게 증가하는 것을 확인할 수 있다. 이것은 블랙 풍선의 반지름 R이 증가할수록 H = 0 m에서 생성되는 플룸의 반경이 커지고, 이로 인해 플룸의 전체 수직 상승 운동량이 커지기 때문인 것으로 추정할 수 있다.

온도 T의 변화 등고선에서는 블랙 풍선의 반지름 R 크기에 상관없이 모두 H = 0 m일 때 온도 T = 19℃로 예측되었고, 플룸이 상승하면서 온도 T가 점차 감소하여 대기의 온도에 가까워지는 것을 확인할 수 있다. 또한 블랙 풍선의 반지름이 증가할수록 플룸의 초기 온도 T가 더 높은 H까지 유지되는 것을 확인할 수 있다. 이것은 블랙 풍선의 반지름 R이 증가할수록 H = 0 m에서 생성되는 플룸의 반경이 커지고, 플룸 반경이 커질수록 초기 중심 온도는 유입되는 주변 공기로부터 더 높은 H까지 보호되며 상승하기 때문인 것으로 추정할 수 있다.

Fig. 6은 고정된 발열량에 의해 블랙 풍선의 표면에서 발생하는 대류 열류 q = 600 kW/m²로 일정하고, 블랙 풍선의 반지름 R = 5, 10, 20 m로 커질 때, 블랙 풍선 상부에서 발생하는 플룸의 최대 수직 유속 u_max와 온도 T, 체적 유량 Q˙, 단위 면적당 체적 유량 Q˙/㎡의 변화를 높이 H에 대한 그래프로 보여주고 있다. Fig. 6(a)는 3가지 반지름 R 크기에 따라 블랙 풍선의 상부에서 발생하는 플룸의 최대 수직 유속 u_max의 변화를 H = 10 m부터 80 m까지 보여주고 있다. 반지름 R = 5, 10, 20 m의 순서대로 H = 20, 40, 60 m 지점에서 최대 수직 유속 u_max가 각각 2.85, 3.59, 4.67 m/s까지 상승하였고 그 이상의 높이에서는 서서히 감소하였는데, 반지름 R의 크기에 의해 블랙 풍선 상부에 발생하는 플룸의 최대 수직 유속 u_max은 반지름 R의 증가에 비례하여 증가하였고, 그 차이는 높이 H가 증가할수록 커지는 것을 확인하였다. Fig. 6(b)는 반지름 R의 크기에 따라 블랙 풍선의 상부에서 발생하는 체적 유량 Q˙의 변화를 H = 10 m부터 80 m까지 보여주고 있다. 반지름 R = 5, 10, 20 m의 순서대로 H = 10 m 지점에서 체적 유량 Q˙이 각각 66, 206, 822 m³/s이였고 플룸이 수직 상승함에 따라 높이 H = 80 m까지 계속 증가하였는데, R = 5 m일 때 체적 유량 Q˙의 증가율보다 20 m일 때 체적 유량 Q˙의 증가율이 큰 것을 확인하였다. 이를 통해 반지름 R의 변화에 의해 블랙 풍선 상부에 발생하는 플룸의 체적 유량 Q˙은 반지름 R의 증가에 비례하여 증가하고, 높이 H가 증가함에 따라 증가율도 커지는 것을 확인하였다. Fig. 6(c)는 3가지 반지름 R 크기에 따라 블랙 풍선의 상부에서 발생하는 플룸의 온도 T의 변화를 H = 10 m부터 80 m까지 보여주고 있다. 반지름 R = 5, 10, 20 m의 순서대로 H = 10 m 지점에서 온도 T는 각각 17.3, 16.8, 17.4℃로 거의 동일 했지만 플룸이 수직 상승함에 따라 높이 H = 80 m까지 계속 감소하였는데, R = 20 m일 때 온도 T의 감소율보다 5 m일 때 온도 T의 감소율이 큰 것을 확인하였다. 이를 통해 반지름 R의 크기에 의해 블랙 풍선 상부에 발생하는 플룸의 온도 T는 반지름 R이 감소하여도 영향을 크게 받지 않지만, 높이 H가 증가함에 따라 감소율은 커지는 것을 확인하였다. Fig. 6(d)는 3가지 반지름 R 크기에 따라 블랙 풍선의 상부에서 발생하는 체적 유량 Q˙을 각각의 블랙 풍선의 표면적 A로 나누어, 각 블랙 풍선이 단위 면적당 수직 상승시키는 단위 면적당 체적 유량 Q˙/㎡의 변화를 H = 10 m부터 80 m까지 보여주고 있다. 반지름 R = 5, 10, 20 m의 순서대로 H = 10 m 지점에서 단위 면적당 체적유량 Q˙/㎡이 각각 0.165, 0.164, 0.164 m³/(s·m²)로 거의 동일하였고 플룸이 수직 상승함에 따라 높이 H = 80 m까지 계속 증가하였는데, R = 20 m일 때 단위 면적당 체적 유량 Q˙/㎡의 증가율보다 5 m일 때 단위 면적당 체적 유량 Q˙/㎡의 증가율이 훨씬 큰 것을 확인하였다. 이를 통해 반지름 R의 크기에 의해 블랙 풍선 상부에 발생하는 플룸의 단위 면적당 체적 유량 Q˙/㎡은 반지름 R의 크기에 비례해 감소하여 효율이 낮아지고, 높이 H가 증가함에 따라 감소율도 커지는 것을 확인하였다.

수치해석 모델의 검증을 위해 이론식 Eq. (2)를 통해 예측된 최대 수직 유속 u_max와 McCaffrey (1979)의 경험적 수식 Eqs. (6)~(7) 및 수치해석의 결과를 비교하여 분석하였고, 이론식 Eq. (3)을 통해 예측된 체적 유량 Q˙을 본 연구에서 경험적으로 얻어낸 수식 Eq. (8) 및 수치해석의 결과와 비교하여 분석하였다.

여기서 k는 coefficients for center line correlations이며, η는 exponent of center line correlations, C는 buoyancy constant, g는 gravity이다. 이러한 상수 및 계수는 Table 3에 요약되어 있다.

매개변수의 검증 블랙 풍선의 발열 면적 ㎡과 단위 면적당 발열량 W/㎡으로 설정하고 이들의 변화에 대한 플룸의 최대 수직 유속 u_max와 체적 유량 Q˙의 변화를 관찰하였다.

수치해석 모델 검증을 위해 수치해석에서 사용한 도메인은 80 × 80 × 360 m³이며, 단순히 높이에 따른 플룸의 상승현상 만을 관찰하기 위한 목적이므로 200 × 200 × 900 (36.00 M nodes)의 성긴 격자계를 사용하였다. z, r 축으로는 스트레칭 격자를 사용하여 중심축에서 최소 간격이 0.04 m이고 도메인의 경계와 접한 부분에서는 최대 간격이 1.1 m가 되게 하였으며, z축으로는 0.4 m로 등 간격의 격자를 사용하였다. 도메인의 바닥면 중심으로부터 높이 60 m 지점에 블랙 풍선의 중심이 오도록 배치하였고, 나머지 초기 조건과 경계 조건은 2.2장의 수치해석 조건과 동일하게 적용하였다. 수치해석 모델 검증을 위해 사용한 블랙 풍선의 반지름 R과 표면적 A, 대류 열류 q 및 이에 대한 블랙 풍선의 총발열량 Q_z을 Table 2에 정리하였다.

또한 수치해석 모델 검증에서 사용한 발열 조건은 블랙 풍선의 반지름 R = 5, 10, 20 m로 커지면서 대류 열류 q = 600 W/㎡로 일정한 경우와, 반지름 R = 10 m로 크기가 일정하면서 대류 열류 q = 300, 600, 900 W/㎡로 증가하는 경우에 대하여 분석하였으며, 이들의 총 발열량 Q_z = 188, 754, 3016 kW 및 377, 754, 1131 kW이다.

이론식과 경험식 및 수치해석의 예측값을 비교하기 위한 최대 수직 유속 u_max와 체적 유량 Q˙은 블랙 풍선 의 중심에서부터 수직으로 z = 300 m까지 계산하여 값을 비교하였다.

Fig. 7(a)에서는 블랙 풍선의 크기와 발열량의 조건에 따른 5가지 경우에 대하여 이론식 Eq. (2)에 의한 최대 수직 유속 u_max의 예측값을 McCaffrey의 경험식 Eq. (6)과 비교하여 보여준다. 모든 케이스에 대하여 최대 수직 유속 u_max의 이론식 예측값이 McCaffrey의 경험식과 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있다. 그리고 Fig. 7(b)에서는 블랙 풍선의 크기와 발열량의 조건에 따른 5가지 경우에 대하여 수치해석을 이용해 예측한 최대수직 유속 u_max 값과 McCaffrey의 경험식 Eq. (6)을 비교하여 보여준다. 수치해석의 결과에서도 모든 케이스에 대하여 최대수직 유속 u_max의 수치해석 예측값이 McCaffrey의 경험식과 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있다. 하지만 높이 z/Q_z^2/5 = 10에서 수치해석의 결과는 급격히 감소하여 u_max/Q_z^1/5 = 0에 가까워지는 현상을 관찰할 수 있다.

Fig. 7(c)에서는 블랙 풍선의 크기와 발열량의 조건에 따른 5가지 경우에 대하여 이론식 Eq. (4)에 의한 온도차 T-T_∞의 예측값을 McCaffrey의 경험식 Eq. (7)과 비교하여 보여준다. 모든 케이스에 대하여 온도차 T-T_∞의 이론식 예측값이 McCaffrey의 경험식과 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있다. 그리고 Fig. 7(d)에서는 블랙 풍선의 크기와 발열량의 조건에 따른 5가지 경우에 대하여 수치해석을 이용해 예측한 온도차 T-T_∞의 값과 McCaffrey의 경험식 Eq. (7)을 비교하여 보여준다. 수치해석의 결과에서도 모든 케이스에 대하여 온도차 T-T_∞의 수치해석 예측값이 McCaffrey의 경험식과 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있다. 하지만 최대수직 유속 예측에서와 같이 온도 예측에서도 높이 z/Q_z^2/5 = 10에서 수치해석의 결과는 급격히 감소하여 T-T_∞ = 0에 가까워지는 현상을 관찰할 수 있다.

Fig. 7(e)에서는 블랙 풍선의 크기와 발열량의 조건에 따른 5가지 경우에 대하여 이론식 Eq. (7)에 의한 체적 유량 Q˙의 예측값을 본 연구에서 제안한 경험식 Eq. (8)과 비교하여 보여준다. 모든 경우에 대하여 체적 유량 Q˙의 예측값이 경험식과 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있다. 또한 Fig. 7(f)에서도 블랙 풍선의 크기와 발열량의 조건에 따른 5가지 경우에 대하여 수치해석을 이용해 예측한 체적 유량 Q˙의 값과 경험식 Eq. (8)을 비교하여 보여준다. 수치해석의 결과에서 모든 케이스에 대한 체적 유량 Q˙의 예측값이 경험식과 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있지만 높이 z/Q_z^2/5 = 10에서 수치해석의 결과가 급격히 감소하여 Q˙/Q_z = 0에 가까워지는 현상을 관찰할 수 있다. 이것은 플룸이 상승하면서 운동량과 열에너지가 주변 공기와 열평형 상태가 되기 때문에 최대 수직유속 u_max 및 온도 T_max와 체적 유량 Q˙이 모두 주변 대기의 상태로 수렴하기 때문인 것으로 추정할 수 있다.