3.1 신뢰성 해석 모형
신뢰성 해석은 여러 가지 해석방법에 따라서 Level II와 Level III로 분류된다. Level III은 난수를 발생시켜 구조물의 안정성에 영향을 주는 확률변수들을 이용하여 파괴확률을 산정한다. Level II는 저항함수와 하중함수를 이용한 신뢰함수(reliability function)를 수립하고 파괴확률을 산정하는 방법이다. 이 방법에서 확률변수들은 정규분포와 같은 특정한 분포함수를 따른다고 가정한다(
Ang and Tang, 1984;
Modarre, 1999;
Frankel, 1988). Level II는 하중함수와 저항함수의 통계적 특성과 분산, 평균의 계산에서 비선형성의 존재에 따라 FORM(Frist-Order Reliability Method)과 SORM(Second-Order Reliability Method)로 분류된다. 본 연구에서는 FORM모형을 적용하였으며 신뢰함수로 주장력공식(8)을 사용하였다.
여기서, σa=파이프의 허용응력, t=관 두께, p=파이프의 내압, 그리고 D=관 직경이다. 신뢰함수에서 Z<0은 파괴상태, Z>0은 안전상태, 그리고 Z=0은 한계상태를 의미한다. 따라서 신뢰함수는 식 (9)을 사용하여 Z<0에 해당하는 파괴확률을 정량적으로 산정할 수 있다.
Fig. 4에서 신뢰지수(reliability index)
β는 원점에서 파괴면의 설계점에 이르는 최단거리이며 반복계산에 의해서 구해진다.
Fig. 4
먼저 방향여현(directional cosine)은 식 (10)와 같이 구하고 식 (11)의 새로운 설계점을 산정하기 위해 사용된다. 첫 번째 반복계산에서는 확률변수의 평균값이 설계점으로 사용된다.
여기서, xi’=(xi−μxi)/σxi, xi=σa, t, p, D, 그리고 μxi와 σxi는 각 확률변수들의 평균과 표준편차이다. 따라서 설계점은 식 (11)와 같이 구할 수 있다.
여기서, μpN과 σpN는 파이프 내압의 등가정규분포의 평균과 표준편차이며 식 12과 같이 Rosenblatt 변환으로 산정할 수 있다.
여기서, Fp(x)와 fp(x)는 식 (13)과 같이 파이프 내압의 Gumbel 분포함수를 의미한다.
여기서, κ=π/(6σP), λ = μp−(0.577/κ) 이다. 만약 식 (11) 를 신뢰함수 식 (8)에 삽입하면 한계상태방정식은 아래 식(14)과 같이 된다.
적절한
β을 구한 후 새로운 설계지점은
β을 식 (10), (11)에 삽입함으로써 얻을 수 있다.
β가 적정한 값에 수렴할 때 까지 반복계산이 이루어져야 한다. 파이프의 허용응력과 두께, 그리고 직경은 제품이 출고될 때 여러 불확실성을 내포하고 있지만 정규분포를 따른다고 가정하였다. 그리고 파이프의 내압의 경우 많은 불확실성이 내포되어 있으며 그 분포함수를 규명할 필요가 있다(Kwon
et al., 2009). 또한 본 연구에서는 국내에서 실제 사용되는 관두께 산정식(
Korea Ductile Iron Industry, 2012)을 작용하여 신뢰성해석을 수행하였다. 관두께 산정식은 정수압과 수격압, 그리고 토피에 의한 토압 및 트럭하중에 의한 토압을 전부 동시에 고려하고 있으며 정수압에 대한 안전율 2.0, 수격압에 대한 안전율 2.0, 토피에 의한 안전율 2.0, 차량하중에 의한 토압안전율 2.0을 대입하여 아래 식 (15)와 같이 산정한다.
여기서, t=관두께(mm), Ps=정수압(kg/cm2), Pu=수격압(kg/cm2), Kf=관저의 지지각에 따라 결정되는 계수, Kt=관정 0.076, 관저 0.011, Wf=토피에 의한 토압(kg/cm2), Wt=트럭하중에 의한 토압(kg/cm2), d=관의 내경(mm), σa=허용응력(kg/cm2)이다. 본 연구에서는 관두께 산정을 위하여 허용응력(σa)=2,500 kg/cm2, 차량하중=9,600 kg을 적용하여 토피 1.5 m, 2 m, 2.5 m에서의 관두께를 산정하였다.
3.2 베트남 호치민시 소블럭 상수관망
약 0.121 km
2의 면적을 가진 베트남 호치민시 상수관망을 일정한 면적을 가진 4개 구역으로 나누고 각 구역별로 6∼7씩 총 25개의 측정지점을 선정하였다. 1구역과 2구역 그리고 4구역은 6개의 측정지점을 나타내었으며 3구역은 7개의 측정지점을 지정하였고 다양한 시나리오로 부정류해석을 수행하였다.
Fig. 5는 베트남 호치민시 상수관망의 부정류 수치해석결과로 나타난 최대압력파고의 확률밀도함수를 보여주고 있다.
Fig. 5
Probability density function of maximum pressure wave height in Ho Chi Minh water distribution system.
Fig. 5에서 볼 수 있듯이 확률분포가 Gumbel분포를 나타내고 있다. 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 구역별 파괴확률 산정을 위하여 각 구역별 파이프의 직경, 두께, 허용응력은 정규분포를 따른다고 가정하고 파이프의 수격압은 Gumbel분포를 사용하였다.
Table 4는 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 구역별 관로의 특성을 보여주고 있다. 그리고
Fig. 6과 같이 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 구역별 파괴확률을 산정하였다.
Table 4
Statistical properties of pipes in 4 areas of Ho Chi Minh small block
area no. |
average diameter (cm) |
average thickness (cm) |
PVC allowable stress (kg/cm2) |
1 |
11.67 |
0.685 |
600 |
2 |
16.67 |
0.7 |
600 |
3 |
15.71 |
0.701 |
600 |
4 |
20.0 |
0.71 |
600 |
Fig. 6
Probability of pipe breakage for each areas in Ho Chi Minh small block.
Fig. 6의 굵은 실선은 1구역의 파괴확률을 보여주고 있으며 얇은 실선은 2구역의 파괴확률, 굵은 점선은 3구역의 파괴확률, 얇은 점선은 4구역의 파괴확률을 보여주고 있다. 압력 5 kg/cm
2에서 1구역의 파괴확률은 0.82%를 보여주고 있으며 2구역은 1.25%, 3구역은 1.13%, 4구역은 1.62%의 파괴확률을 나타내고 있다. 베트남 호치민시 소블럭 상수관망은 수충격 최대 압력파고의 평균이 3.7 m밖에 나타나지 않았지만 관재질이 PVC이기 때문에 파괴확률은 비교적 크게 나타났다. 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 경우 모든 압력에서 4구역이 가장 큰 파괴확률을 나타내었고 2구역, 3구역, 1구역이 그 뒤를 잇는 순서로 나타났다.
Table 5는 베트남 호치민시 소블럭 상수관망의 구역별 파괴확률을 보여주고 있다.
Table 5
Comparison of probability of pipe breakage for 4 areas of Ho Chi Minh water distribution system
Pressure (kg/cm2) |
Probability of Pipe Breakage(%) |
area 1 |
area 2 |
area 3 |
area 4 |
5 |
0.82 |
1.25 |
1.13 |
1.62 |
10 |
7.5 |
12.7 |
11.3 |
16.9 |
15 |
29.1 |
42.5 |
39.4 |
51.2 |
3.3 4개 권역 광역상수도
4개 권역 광역상수도에서 밸브폐쇄시간에 따른 부정류해석이 수행되었다.
Fig. 7은 권역별 4개 관로의 부정류 수치해석결과 나타난 최대압력파고의 확률밀도함수를 보여주고 있다.
Fig. 7
Probability density function of maximum pressure wave height of (a) Gwacheon, (b) Seongnam, (c) Gumi, (D) Yeosu.
Fig. 7에서 볼 수 있듯이 4개 권역 광역상수도의 확률분포가 Gumbel분포를 나타내고 있다. 4개 권역 광역상수도의 파이프 파괴확률 산정을 위하여 파이프의 직경, 두께, 허용응력은 정규분포를 따른다고 가정하고 파이프의 수격압은 Gumbel분포를 사용하였다. 강관으로 구성된 4개 권역 광역상수도의 파이프 직경, 두께, 허용응력, 토피는
Table 6과 같다.
Fig. 8은 4개 권역 광역상수도의 파괴확률을 보여주고 있다.
Table 6
Pipe properties of 4 wide waterworks systems
|
Diameter (cm) |
Thickness (cm) |
SP allowable stress (kg/cm2) |
Ground layer (cm) |
Gwacheon |
220 |
2.0 |
1,400 |
460 |
Seongnam |
180 |
1.6 |
1,400 |
180 |
Gumi |
60 |
0.6 |
1,400 |
370 |
Yeosu |
165 |
1.5 |
1,400 |
350 |
Fig. 8
Probability of pipe breakage for 4 pipes of wide waterworks systems.
Fig. 8의 굵은 실선은 과천권 광역상수도의 파괴확률을 보여주고 있으며 얇은 실선은 성남권 광역상수도의 파괴확률, 굵은 점선은 여수권 광역상수도의 파괴확률, 얇은 점선은 구미권 광역상수도의 파괴확률을 보여주고 있다. 그래프에서 볼 수 있듯이 압력 10 kg/cm
2에서 과천권 광역상수도의 파괴확률은 16.6%이고 성남권 광역상수도는 17.9%, 여수권 광역상수도는 17.6%, 구미권 광역상수도는 10.9%의 파괴확률을 나타내고 있다. 15 kg/cm
2이후부터 항상 과천권 광역상수도가 가장 큰 파괴확률을 나타내었고 성남권, 여수권, 구미권 광역상수도가 그 뒤를 이었다. 이는 과천과 성남권의 관로직경이 상대적으로 크기 때문이며 직경이 파괴확률 산정에 민감하게 반응하는 것으로 나타났다.
Table 7은 4개 권역 광역상수도의 파괴확률 비교를 보여주고 있다.
Table 7
Comparison of probability of pipe breakage for 4 pipes of wide waterworks system
Pressure (kg/cm2) |
Probability of Pipe Breakage(%) |
Gwacheon |
Seongnam |
Gumi |
Yeosu |
10 |
16.6 |
17.9 |
10.9 |
17.6 |
15 |
46.0 |
45.6 |
33.7 |
44.0 |
20 |
71.6 |
68.8 |
58.3 |
66.3 |