Yarin (2012)에 따르면, 관심의 대상인 축 대칭 난류의 흐름을 지배하는 가장 중요한 매개 변수는 방출 된 QZ 또는 그 대응 변수인 QY = QZ/(ρc)이다. 여기서 ρ와 c는 각각 일정한 기체 압력에서의 밀도 및 비열이다. 축 대칭 풀룸은 다음의 관계가 성립한다.

여기서 u는 플룸에서의 종 방향 속도성분, T는 플룸에서의 온도 분포, T∞는 주변 기체의 온도, y는 수직축으로부터 추정 된 임의의 플룸 단면에서의 반경 좌표이다. 따라서 QY (또는 QZ)는 항상 입력 매개 변수가 된다.

상승하는 플룸을 따라 수직방향의 최대 속도는 Vmax이다. 난류의 축 방향 대칭성 플룸에서, Vmax는 다음과 같이 추정된다[Yarin (2012), Eq. (6.111)].

여기서 β는 가스 열팽창 계수이고 g는 중력가속도이다.

유사하게, 플룸에서 수직 방향의 최대 온도는 다음과 같다[Yarin (2012), Eq. (6.111)].

샤프트의 중간에서 상승하는 플룸으로 공기가 유입되면 샤프트 내부의 체적 유량은 자연 플룸의 경우와 비슷한 방식으로 증가한다.

따라서 자기 유사 해법은 다음과 같이 된다.

FDS는 저속(Ma <0.3)에 적합한 Navier-Stokes 방정식을 기반으로 한 계산식(McGrattan, 2000)으로, FDS의 유체 역학 모델은 화재로 인한 저속의 열 유동 연기 흐름을 해석하는 데에 적합하다. 난류는 대형 와류 시뮬레이션(LES) 모델을 사용하며 연소는 연료와 산소의 즉각적인 반응을 예상하는 혼합 분율 모델을 사용한다. 복사열 에너지 수송은 비 산란 회색 가스와 광대역 모델을 기반으로 한다. 지배 방정식은 Rehm and Baum (1978)에서와 같이 연속성, 농도 균형, 운동량과 에너지 균형, 그리고 이상 기체 상태 법칙을 포함한다.

본 연구에서는 McCaffrey (1979)가 그의 논문에서 가스버너를 이용하여 실험한 조건과 동일한 조건을 FDS로 모사하여 수치해석한 결과를 그의 경험식과 비교하였다.

여기서 C는 부력 상수, k는 중심선 상관 계수이며, η는 중심선 상관 관계의 지수이며, ΔT는 온도차이다. 이러한 상수 및 계수는 Table 1에 요약되었다.

수치해석을 위해 14.4, 21.7, 33.0, 44.9, 57.5 kW의 5가지 발열량에 대하여 McCaffrey (1979)의 실험과 동일하게 모델링하였고, 초기조건과 경계조건 또한 동일하게 설정하였다. 수치해석을 위해 사용한 계산영역은 가로(x), 폭(y), 높이(z)가 2 m × 2 m × 2 m이다. 여기에 사용된 격자는 40 × 40 × 80개로써 x, y 축으로는 비등간격 격자를 사용하여 중심축에서는 최소 0.0026 m이고 계산영역의 경계와 접한 부분에서는 최대 0.138 m로 설정하였고 z축으로는 0.025 m로 등간격의 격자를 사용하였다. 계산영역의 6면은 모두 개방된 조건을 적용하였고 화원에서 방출되는 가스 연료의 유동 외에는 강제적인 유동조건을 적용하지 않았다. 발열원의 크기는 0.3 ㎡으로 설정하였다. FDS에서 난류해석을 위해 사용하는 LES모델은 Verman의 모델을 사용하였고 대류 및 복사 열전달을 해석하였다. 온도와 수직 상승유속의 예측값은 화원의 중심으로부터 수직으로 0.025 m 간격으로 81개 지점에 대해 해석된 결과 중 600초간의 시간평균값을 사용하여 Table 1의 경험값과 비교하였다(Fig. 2).

McCaffrey (1979)의 풀룸에 관한 실험을 FDS로 모사하여 수치해석을 한 결과, Flame 영역과 Intermittent 영역에서는 온도를 다소 과잉 예측하는 경향이 있었고, 풀룸 영역에서는 수직 상승유속을 과소 예측하는 경향이 보였으나 대체적으로 McCaffrey (1979)의 이론식을 잘 따르는 것으로 분석되었다. 이것은 FDS에서 사용하고 있는 연소방정식이 실제의 연소과정에서 발생하고 있는 복잡한 화학적 결합과정을 단순화하여 모델링한 것과 LES 난류모델의 특성으로 추정된다.

위 결과를 통해 초고층 건축물의 수직 관통로 내부에서 발생하는 풀룸의 확산 현상을 해석하는 데에 FDS를 사용하여 충분히 신뢰성 있는 예측결과를 얻을 수 있음을 확인하였고, 이후에 다루어질 수직 관통로의 벽영향를 분석하는 데에도 FDS를 사용하였다.

고층 건축물 내부의 계단실이나 엘리베이터 이동로와 같은 수직 관통로를 통해 연기가 수직으로 이동을 하게 되는데, 이와 같은 현상을 유발하는 주요한 힘에 대하여 Drysdale (2011)은 다음과 같이 분류하고 있다.

(a) 화원에 의해 직접 생성 된 부력

(b) 내부 및 외부 온도의 차이로 발생하는 부력

(c) 외부 바람과 공기의 움직임의 영향

(d) 건물 내의 공기조화 시스템

하지만 선행연구와 본 연구에서는 (a)만을 고려하여 연구를 진행하고 있으며, 따라서 (b)~(d)와 관련된 압력의 영향은 이번 연구내용에서 다루고 있지 않다. 그리고 연기가 수직 관통로의 내부에서 확산할 때 수직이동 현상에 영향을 미치는 요소로는 다음의 사항을 고려할 수 있다.

(1) 화원의 크기

(2) 수직 관통로의 단면적

(3) 유입구과 유출구의 단면적

(4) 수직 관통로 벽을 통한 열전달

(5) 수직 관통로 벽의 표면 거칠기

(6) 중간층에서의 유입 또는 유출 공기

위에 기술된 요소 외에도 많은 영향인자가 있으나, 본 연구에서는 (1)과 (2)에 의한 영향만을 고려하여 이 들간의 상관관계를 분석하고 일반화 하고자 한다.

벽효과를 조사하기 위하여 사용한 수치해석 계산영역의 크기는 가로(x), 세로(y), 높이(z)를 40 × 40 × 100 ㎥로 하였다. x와y 방향으로 각각 100개의 격자를 사용하였으며 화원이 위치한 중심에서 최소간격 0.04 m, 계산영역의 경계와 접한 부분에서 최대간격 1.00 m 까지 비등간격 격자를 사용하였고, z방향으로는 0.2 m의 간격으로 500개의 등간격 격자를 사용하여 모델링하였다. 해석 영역의 6면은 모두 개방된 상태로 설정하여 계산영역의 경계에서 물질이 자유로이 이동하도록 하였으나 강제적인 물질 이동은 없는 것으로 하였다. 초기 계산영역의 내부 및 외부로부터 유입되는 공기는 20 ℃, 1 atm의 표준대기상태를 사용하였으며, 수직 관통로의 벽면에서 발생하는 경계층을 계산하기 위해 Non-slip Condition에 Wall-Function을 적용하였다. 풀룸으로부터 벽으로 열전달을 방지하기 위해 벽에는 단열조건을 적용하였고 수직 관통로의 중간에서 공기 유입은 없는 것으로 가정하였다.

첫번째 테스트에서는 수직 관통로의 정 사각단면적이 25, 100, 400, 1600 ㎡ 인 4가지 단면적(Fig. 3)에 대하여 수치해석을 진행하였고, 이 결과를 수직 관통로가 없이 개방된 경우와 비교하였다. 화원의 크기는 지름 0.67 m의 원형 열원를 설정하였고 화재의 강도는 10MW 화재로 설정하여 모델링하였다. 화원의 중심점을 기준으로 높이 1 m마다 온도, 수직 성분의 유속, 체적 유량, 압력을 측정하였고, 열원은 복사열 발열체를 사용하여 열전달 만으로 부력 플룸이 생성되도록 하였다. 이것은 순수 풀룸만을 고려한 2.1장의 이론식 결과와 비교하기 위함이며, 모든 예측값은 600초간의 시간평균값을 사용하여 이론값과 비교하였다.

Fig. 4(a)는 수직 관통로의 단면적 크기별로, 높이에 대한 중심선에서의 온도변화를 시간평균하여 2.1장의 이론식 예측값과 비교한 그래프이다. 수직 관통로의 단면적이 작아질수록 이론식보다 온도가 천천히 상승하다가 높이 16 m를 기점으로 급격히 상승하여 높이에 따른 온도차이가 적어지는 현상을 보이고 있다. 최대 온도상승은 단면적이 25 ㎡일 때 약 50℃까지 상승하였다. Fig. 4(b)는 수직 관통로의 단면적 크기별로, 높이에 대한 중심선에서의 수직방향 유속변화를 이론식의 예측값과 비교하여 나타낸 그래프이다. 단면적에 반비례하여 중앙 수직상승 유속이 증가하고, 단면적이 작을수록 높이에 대한 유속의 변화가 감소하는 경향을 보이고 있다. 최대유속은 단면적이 25 ㎡일 때 약 13 m/s까지 상승하였다. Fig. 4(c)는 수직 관통로의 단면적 크기별로, 높이에 대한 체적유량 변화를 이론식의 예측값과 비교하여 나타낸 그래프이다. 체적유량은 단면적에 비례하여 증가하는 경향을 보이고 있으며 수직 관통로 내부에서 형성된 채널유동(channel flow)에 의해 높이에 상관없이 일정한 체적유량이 이동되고 있음을 보여주고 있다. Fig. 4(d)는 수직 관통로의 단면적 크기별로 높이에 대한 단면 중앙에서의 압력변화를 나타낸 그래프이다. 단면적이 작아질수록 화원에서의 압력이 낮아지는 경향을 보이고 있으며 최저 압력은 단면적이 25 ㎡일 때 약 -62 Pa까지 감소하는 경향을 보였다. 이것은 화원에 의한 주변공기의 부피 팽창과 부력에 의한 공동화 현상 때문으로 추정된다.

Fig. 5는 각 수직 관통로의 특정 높이에서 생성되는 수직 성분의 유속을 시간평균하여 나타낸 그래프이다. 중심선에서 시작하여 수직 관통로의 벽면까지 y방향으로 갈수록 변화하는 수직 성분의 유속을 높이 별로 중첩하여 비교했는데, 단면적의 크기와는 무관하게 열원으로부터 수직으로 1 m 높이에서는 약 12 m/s의 상승 유속이 생성되는 것으로 분석되었다. Fig. 5(a)는 개방된 공간에서의 유속 변화를 나타낸 그림으로, 높이가 높아질수록 풀룸의 반경이 커지면서 수직상승 유속이 감소하여 최상부에서는 약 5 m/s까지 감소하는 것을 확인할 수 있다. Figs. 5(b)와 5(c)는 단면적 1600 ㎡와 400 ㎡에서 상승 유속의 변화를 나타낸 그림으로, 높이가 높아질수록 풀룸의 반경이 커지면서 수직상승 유속이 감소하여 최상부에서는 각각 6 m/s, 7 m/s까지 감소하며 풀룸의 외부에서도 약 1 m/s와 3 m/s의 수직 상승하는 균일유동(uniform flow)이 생성되고 있음을 확인할 수 있다. Fig. 5(d)는 단면적 100 ㎡에서 상승 유속의 변화를 나타낸 그림으로, 높이 1 m에서 10 m 사이에서만 풀룸이 생성되고 그 이상에서는 중심에서 약 11 m/s의 일정한 유속을 유지하다가 최상부에서 9 m/s로 감소하는 포물선 형상의 채널유동가 형성되어 있음을 확인할 수 있다.

본 장에서는 앞장에서 다루었던 5가지 경우의 수직 관통로 상태에 다양한 강도의 열원을 적용하여 벽효과를 수치해석적으로 분석하였다. 수치해석에 사용된 격자와 경계조건, 초기조건은 앞장에서 수행한 수치해석과 동일하게 사용하였고, 열원의 지름을 변경하여 2 MW, 5 MW, 20 MW의 발열량에 대한 벽효과를 분석하여 10 MW의 결과와 함께 McCaffrey (1979)와 2.1장의 이론식 결과와 비교하였다.

Fig. 6은 수직 관통로의 단면적 크기에 따라 중심선을 따라 변화하는 풀룸의 온도와 높이의 상관관계를 나타낸 그림이다. Fig. 6(a)는 2.1장과 McCaffrey (1979)의 이론값을 비교한 그림이다. Flame과 Intermittent 구간을 고려하지 않고 오직 풀룸 만을 고려한 2.1장의 이론값과 McCaffrey (1979)의 풀룸구간에 대한 이론값이 잘 일치함을 확인할 수 있다. 특히 2.1장의 이론식은 점열원(point heat source)의 개념을 사용하고 있기 때문에 높이가 0 m인 열원의 표면에서는 무한대의 온도값을 갖는다. Fig. 6(b)는 개방된 공간에서 발열량별 풀룸의 온도변화를 나타내고 있으며, 풀룸 구간에서 2.1장과 McCaffrey (1979)의 이론값이 잘 일치하고 잇음을 확인할 수 있다. 화염이 없이 복사열에 의해서 풀룸이 생성된 것은 2.1장의 이론적 개념과 일치하지만, FDS 수치해석에서는 발열량에 비례하여 면적을 갖는 열원을 사용하고 있기 때문에 Flame과 Intermittent의 구간에서 2.1장의 이론값과 McCaffrey (1979)의 이론값의 중간값을 갖고 있는 것이 특징이다. Fig. 6(c)는 수직 관통로의 단면적이 1600㎡일 때, 발열량 변화에 대한 온도변화를 나타낸 그림이며 Fig 6(b)와 유사한 결과를 보이고 있다.

개방된 공간에서의 온도변화와 비교하였을 때, 수직 관통로의 단면적이 감소할수록, 발열량의 변화에 대한 온도변화의 이탈이 점차 커지고 잇음을 Figs. 6(c)~6(f)를 통해 확인할 수 있다. Figs. 6(c)~6(e)는 수직 관통로의 단면적이 각각 1600 ㎡, 400 ㎡, 100 ㎡ 일때 FDS로 수치해석된 결과들이며, 발열량 변화에 따라 플룸의 중앙선을 따라 높이별 온도변화를 나타낸 그림이다. Fig. 6(b)의 변화와 유사하게 Flame 영역과 Plume 영역에서 ΔT ∝ z0와 ΔT ∝ z-5/3의 경향을 잘 따르고 있지만 발열량별로 Intermittent 영역에서 이탈이 발생하였고 수직 관통로의 단면적이 작아질수록 이탈의 크기도 커지는 것을 확인할 수 있다. Fig. 6(f)에서는 모든 발열량에서 McCaffrey (1979)의 온도선도를 따르지 않고 온도가 변화없이 수직상승하게 되는데, 이는 발열원에 의해 발생한 플룸이 수직 관통로 내부에서 수직상승하는 채널유동를 형성하면서 충분히 발달된 난류 유동으로 발달했기 때문으로 추정된다. Fig. 6(f)에서 20 MW의 온도변화 선도가 5 MW, 10 MW의 선도보다 아래에 위치하고 2 MW의 선도와 거의 일치하는 현상을 보이고 있는데, 이것은 그래프에서 ΔT를 표시할 때 높이 z를 Q2/5로 나누어주면서 보이는 발열량 Q의 영향에 의한 것이며 실제의 데이터에서는 발열량이 증가할수록 ΔT도 순차적으로 증하고 있음을 확인하였다.

개방된 공간에서의 온도변화와 비교하였을 때, 수직 관통로의 단면적이 감소할수록, 발열량의 변화에 대한 온도변화의 이탈이 점차 커지고 있으며, Flame 영역과 Plume 영역에서 ΔT ∝ z0와 ΔT ∝ z-5/3의 경향을 따르지 않고 ΔT ∝ z의 경향과 유사해 지고 있음을 Figs. 6(c)~6(f)를 통해 확인할 수 있다.

유속 u/Qz2/5의 경우 온도와 마찬가지로 플룸 만을 고려한 2.1장의 이론의 결과는 McCaffrey (1979)가 Flame영역과 Intermittent영역에서 제시한 유속선도와는 무관하고 오직 Plume영역에서 u ∝ z-1/3의 유속선도와 잘 일치함을 확인할 수 있다. 이것 역시 2.1장의 이론식은 점 발열원(point heat source) 개념을 사용하고 있으며 발열원의 표면에서는 무한대의 유속값을 갖기 때문이다. Fig. 7(b)는 개방된 공간에서 수치해석된 FDS의 결과이며 발열량별로 플룸의 중심선을 따라 높이별 수직상승 유속값의 변화를 보여주고 있다. 유속의 경우에도 McCaffrey (1979)가 Flame영역과 Intermittent영역에서 제시한 유속선도보다 과잉 예측 하지만 u ∝ z1/2의 경향을 따르고 있는 것이 특징이다. 여기서 FDS의 수치해석결과가 Flame영역에서 2.1장의 이론식의 값을 따르지 못하는 이유는 온도의 경우와 같이, FDS의 수치해석에서는 고온 발열체를 이용하여 자연부력에 의한 플룸을 생성하고 있지만 수치해석에서는 발열원 표면에서의 유속이 0 ㎧에서 시작하기 때문이다. 또한 FDS의 수치해석 결과가 McCaffrey (1979)가 Plume영역에서 제시한 유속선도보다 과잉 예측하는 이유는, McCaffrey (1979)의 실험에서는 발열원의 표면에서 가연성 가스가 제트분사 되면 수직상승 하는 과정에 연소현상을 진행하게 되므로 발열 에너지가 점진적으로 증가하게 되는 반면, FDS의 수치해석에서는 발열원 표면에서 총발열 에너지를 모두 갖고 수직상승 하기 때문에 강한 자연부력이 발생하여 Plume영역에서 실험의 경우보다 상대적으로 높은 수직 상승유속이 발생한 것으로 추정된다. Figs. 7(c)~7(e)는 수직 관통로의 단면적이 각각 1600 ㎡, 400 ㎡, 100 ㎡일 때 FDS로 수치해석된 결과들이며, 발열량별로 플룸 중앙의 중심선를 따라 높이별 수직상승 유속변화를 나타낸 그림들이다. 플룸의 전체 영역에서 Fig. 7(b)의 변화와 유사한 결과를 보이고 있지만 수직 관통로의 단면적이 감소할수록 이탈이 커지는 것을 확인할 수 있으며, Flame영역의 초기 상승유속은 거의 변항이 없지만 Intermittent영역과 Plume영역에서 상승유속이 크게 증가하고 있음을 확인할 수 있다. 특히 Fig. 7(f)의 경우 발열량간의 이탈이 크게 증가하였고 Intermittent영역과 Plume영역에서 상승유속이 크기 증가하였는데, 이것은 발열원에 의해 생성된 플룸이 수직 관통로의 내부에서 수직상승하는 채널유동를 형성하였고 충분히 발달된 난류유동으로 발달하였기 때문으로 추정된다. Fig. 7(f)에서 20 MW의 유속변화 선도가 5 MW, 10 MW의 선도보다 아래에 위치하는 현상을 보이고 있는데, 이것은 그래프에서 유속을 표시할 때 높이 z를 Qz2/5로 나누어 주면서 보이는 발열량 Q의 영향에 의한 것이며 실제의 데이터에서는 발열량이 증가할수록 ΔT도 순차적으로 증하고 있음을 확인하였다.

Figs. 7(c)~7(f)의 유속 변화를 Fig. 7(b)와 비교하였을 때, 수직 관통로의 단면적이 감소할수록, 발열량의 변화에 대한 유속변화의 이탈이 더욱 커지고 있음을 확인할 수 있으며 Flame 영역과 Plume 영역에서 u ∝ z1/2와 u ∝ z-1/3의 경향을 따르지 않고 u ∝ z0의 경향과 유사해 지고 있음을 확인하였다.

Fig. 8은 발열원의 크기, 수직 관통로의 단면적 크기에 따라 측단면에서 표현된 특정 시간에서의 온도 분포를 나타낸 그림이다. 분석된 모든 발열량의 경우에서 단면적의 크기가 1600 ㎡인 경우 개방된 공간에서의 풀룸과 매우 유사한 형상과 온도 분포로 풀룸이 생성되고 있음을 확인할 수 있다. 하지만 단면적이 작아질수록, 발열량이 커질수록 수직 관통로의 최상부에서의 온도가 상승하고 있으며 100 ℃ 이상이 되는풀룸의 고온 경계도 점차 높아지고 있음을 확인할 수 있다. 특히 20 MW에서 단면적이 25 ㎡인 경우, 중심선의 전체 높이에서 온도가 100 ℃를 넘으며 약 70 m이상에서는 수직 관통로 내부의 온도가 평균 60 ℃ 이상으로 유지되는 것을 확인할 수 있는데 이러한 현상을 통해 풀룸의 성장과 수직 관통로의 벽면과의 상호 작용에 의한 강한 온도의 확산 현상이 발생하고 있음을 추정할 수 있다.

Fig. 9는 발열원의 크기, 수직 관통로의 단면적 크기에 따라 측단면에서 표현된 특정 시간에서의 수직 유속 분포를 나타낸 그림이다. 분석된 모든 발열량의 경우에서 단면적의 크기가 1600 ㎡인 경우 개방된 공간에서의 풀룸과 매우 유사한 형상과 유속으로 풀룸이 생성되고 있음을 확인할 수 있다. 하지만 단면적이 작아질수록, 발열량이 커질수록 풀룸 외부의 균일유동의 유속이 상승하고 있으며 풀룸 중심부에서의 유속이 10 m/s를 초과하는 부분이 점차 높아지고 있음을 확인할 수 있다. 특히 20 MW에서 단면적이 400 ㎡ 이하인 경우, 낮은 높이에서 생성된 10 m/s이상의 풀룸 중심부 유속이 최상부까지 유지되고 있음을 확인할 수 있는데 이러한 현상을 통해 풀룸의 성장과 수직 관통로의 벽면과의 상호 작용에 의한 난류성 채널유동이 성장하고 있음을 추정할 수 있다.

Fig. 10은 발열원의 크기, 수직 관통로의 단면적 크기에 따라 측단면에서 표현된 특정 시간에서의 압력분포를 나타낸 그림이다. 분석된 모든 발열량의 경우에서 단면적의 크기가 1600 ㎡인 경우 개방된 공간에서의 풀룸과 매우 유사한 형상과 압력 분포로 풀룸이 생성되고 있음을 확인할 수 있다. 하지만 단면적이 작아질수록, 발열량이 커질수록 수직 관통로 의 최상부는 대기압을 유지하고 있으나 최하부의 압력이 단면적에 비례하여 낮아지는 경향을 확인할 수 있다. 특히 5 MW에서 단면적이 25 ㎡인 경우 최하부의 압력이 -60 Pa까지 낮아졌으며, 20 MW에서 단면적이 25 ㎡인 경우 최하부의 압력이 -96 Pa까지 낮아졌다. 이러한 현상의 원인은 열원에서 생성된 부력 유동에 의해 풀룸이 성장하고, 수직 관통로의 상부에서 벽면과 상호 작용을 하여 강한 난류성 채널유동이 성장하면서 최하부에는 강한 부압(negative pressure) 현상이 발생하였기 때문으로 추정된다.