2.1 수치해석 방법

본 연구에서는 ANSYS-FLUENT Workbench 13.0으로 수치해석을 진행하였다. 고체입자인 토사 슬러리와 유체로 구성된 2상유동 해석에는 Euler-Euler 모델을 적용하였다. Euler-Euler 모델은 수많은 입자들의 움직임을 표현할 때 입자를 개별적으로 추적하는 것이 아니라 분산된 흐름의 형태를 표현하므로 다상유동의 모델링에 주로 사용된다. 해석 과정에서 각 상들은 개별적으로 처리되며 각 단계마다 모든 상들을 결합한 하나의 보존 방정식이 도출된다. 각 상들 사이의 결합은 압력 및 상간의 운동량 교환 계수를 통해 이루어진다. 결국 서로 다른 상이라 하더라도 전체 체적농도의 합은 1로 일정함을 유지해야 한다. 결국 2개의 연속적인 상을 갖는 2상유체 모델로써 지배방정식은 다음과 같다.

여기서 ρ는 상의 밀도, U는 평균 속도의 장, P는 상들의 평균 압력이다. 아래 첨자 k는 k번째 연속 위상을 가리킨다. 분산된 각 상들의 방정식은 주어진 계산 Mesh의 셀 내부에서 평균되어 대표값을 얻게 된다. 분산된 각 상을 하나의 연속체로 표현하기 위해서는 높은 체적농도가 요구되며, 따라서 해당 방법은 밀도나 농도가 높은 상을 포함한 유동해석에 적합하다(Jeong, 2009).

2.2 분석모델의 검증

본 연구에서는 Matousek(1997)의 1.4∼2.0 mm의 토사 입자들에 대한 실험적 결과를 토대로 동일한 제원을 반영하여 본 연구에서의 수치해석 결과를 대조하였다. 다음의 Fig. 1은 우수관 내부에 1.4∼2.0 mm의 입자가 26%의 체적농도 및 2.5∼3.0 m/s의 유속조건에서의 이송과정에 대한 해석결과이다. 모델링을 통해 도출된 결과의 흐름이 상당부분 일치한다. 결과적으로 검증에 적용된 두 가지 유속 조건의 변화에 대해 체적농도에 따른 내부 분포가 동일한 경향성을 나타내므로 해석을 위한 난류모형의 검증이 이루어졌다 판단하였다.

Fig. 1.

Verification Results with Matousek(1997) Experimental Study

2.3 수치해석 조건

본 연구에서는 직경 0.6m, 관 연장 10 m의 원형 우수관로를 140,000개의 격자망 구성을 통해 모사하였고, 동일한 유입조건에서 계산효율이 높은 2차원 모델로 해석을 수행하였다. 토사 슬러리 혼합물의 유입유속, 혼합물 중 토사의 체적농도 및 토사의 입자크기를 변수로 선정하여 각각의 변화 조건에 따른 전체 63개 조건에 대해 혼합물의 유속과 입자 분포를 비교⋅검토하였다. 다음의 Table 1은 해석 대상으로서 유입되는 유체와 토사 슬러리 혼합물의 물성값 및 해석 경계조건을 나타낸다.

Table 1.

Basic Information of Analysis Parameters

Fig. 2.

Conduit Mesh and Boundary Condition (Song et al., 2017b)

3.1 우수관거 내부 토사 슬러리 혼합물의 유동 특성

관 저면에서 발생하는 침전층의 형성은 이송과정에 있어 전단경계층 형성에 중요한 원인이며 시설물의 유지관리가 가능한 주요 참고사항이 된다. 하천이나 하구의 침식이나 바람, 공기의 흐름에서 입자의 이송에 대한 연구에 사용되는 주요 매개변수에는 전단유속을 활용한다.

경계층은 전단유속의 상대적인 값에 따라 분류되며 해당값을 초과하는 힘을 갖는 입자들에 의해 퇴적층을 형성하고 나머지의 경우 이송과 침전층을 구성하게 된다. 이때 침전된 토사 슬러리 이송과정에 영향을 미치는 중요한 요소는 유동 저항(flow resistance)이다. 퇴적물은 관 저면에서 침전되어 유동 저항을 증가 시키며 통수단면적을 감소시킨다(Fig. 3).

Fig. 3.

Change of Flow Velocity Profile Due to Sedimentation Layer

Liu(1998)와 Butler et al.(2004)은 우수관거 내부에서의 침전물의 이동은 3가지 기본 단계를 포함한다고 언급하였다. 부상(entrainment), 이송(transport) 그리고 퇴적(sedimentation)으로 정의하였다. 세 가지 분류에 따른 전단특성을 표현하면 다음의 Fig. 4와 같다. 이때 경계층의 두께는 일정하지 않으며 전체 흐름구간의 대부분이 난류영역에 속한다.

Fig. 4.

Classification of the Flow Layer According to the Shear Stress Characteristics

Raudkivi(1998)는 Fig. 4와 같은 흐름의 경계층을 수치적으로 표현하고자 유동과정 중 경계층의 구분이 관 저면에서 발생하는 전단유속(u*)와 입자의 침강속도(vs)의 상대적인 크기에 의존함을 Table 2를 통해 제안하였다.

Table 2.

Mode of Sediment Transport (Raudkivi, 1998)

Fig. 4와 Table 2를 연관지어 서술하면 입자간 점성력이 작용하여 관 저면을 벗어나지 않고 입자가 이동하는 층을 bed load layer로 정의한다. 퇴적층 상단부로 경계층에 해당하며 큰 난류응력의 작용으로 인해 퇴적된 입자들이 이송과 침전에 따른 이동이 활발히 발생하는 지역을 transition layer로 정의하였으며, 이후 대게 난류응력만이 작용하여 이송과정을 포함하는 층을 wash load layer 및 suspended load layer로 구분하였다.

유동에 대한 마찰저항이 작거나 없기 때문에 이송 과정에서 입자들의 침강속도 역시 작은 값을 갖는다. 따라서 완전한 난류흐름으로써 난류응력이 존재한다. 관거의 흐름방향을 기준으로 전단응력이 상단부를 향하여(유속이 0이 되는 구간) 선형적으로 감소하며, 유체와 고체입자의 격한 혼입이 발생하는 구간이다. 와류나 소용돌이가 발생하나 대게 해당 구간에서의 유속은 일정한 것이 특징이다. 이처럼 토사 슬러리의 이송과정에 많은 흐름 경계층이 존재한다. 대표적으로 구분하였지만 명확히 체계를 구분하는 것은 불가능하다.

전단유속과 하상의 전단응력은 실제로 침전물을 동반하고 이송하는 힘을 의미한다. 임계 값(임계 경계 전단 응력 또는 임계 침식 속도)은 침전물 이동이 불가능한 한계 조건으로 항복이 시작되는 전단응력(운동 한계점)의 값이다. 하상의 거칠기의 경우 바닥에 쌓인 퇴적물 입자의 크기에 따라 값이 산정되며, 유속분포의 변화와 퇴적물의 이송 능력에 영향을 미친다.

결과적으로 침강속도는 유체 역학적 힘이 입자에 가해짐으로써 입자의 이동에 영향을 미치고 이에 따른 경계층의 형성을 의미한다. 난류 흐름조건에서 유속이 증가하면 입자에 작용하는 힘의 크기가 임계값을 초과하면서 관 저면의 퇴적된 입자가 다시 일정한 속도로 동반된다. 임계 조건에서의 관내 전단 응력이 침전물 이동 속도를 지배함을 의미함으로써 유속 의존성이 매우 강하다는 것을 나타낸다.

3.2 우수관로 내 유동 경계층 검토

본 연구에서는 관수로 내 토사의 이동에 대해 유동흐름의 경계층을 검토하고자 한다. 혼탁된 유체의 이동과정에서 경계층을 결정할 수 있는 주요 특성은 흐름과정에서 토사 슬러리의 관 내부 수직 분포와 바닥 경계면에서의 전단유속이다. 전단유속은 관 저면으로 침전되는 토사 슬러리를 재부상과정에 의해 부유시키는 역할을 하며, 이때의 체적농도의 특성에 기인하여 원활한 이송 또는 재 침강과정을 유도한다. 따라서 침전층의 영향으로 인한 전단유속을 검토함으로써 관 저면에서의 전단유속의 변화량을 측정하였다. 결국 이러한 전단유속의 변화량은 운동에너지의 변화량을 의미한다.

전단유속의 경우 일정 단면에서 흐르는 유속분포를 가정할 때, 아래의 식으로 근사치 추정이 가능하다. 다만, 하상 근처에서 상대적으로 얇은 층(z/H<0.2)을 설명하는데 주로 쓰이는 벽의 법칙(Law of the Wall)을 토대로 산정이 가능하다.

여기서 u는 하상을 기준으로 상부 거리 z에 대한 평균유속, z0는 유속의 변화가 잦아들어 0이 되는 하상으로부터의 거리, u*는 유동전단속도, k는 카르만 상수(Von Karman’s constant)이며 약 0.41로 적용된다(Nezu and Rodi, 1985; Nezu and Nakagawa, 1994).

결국 관 저면의 경계에서 일어나는 연속적인 속도의 증가에 따른 변화량을 반영함으로써 이송⋅침전과정 동안의 전단유속과 전단응력을 산정하게 된다. 다만 임의 산정지점에서 y가 불연속적으로 증가한다면 위 Eq. (5)에서 언급된 ∂u/∂y는 무한히 증가한다. 결국 유속의 변화가 잦아드는 지점에서의 전단응력이 한계전단응력으로 정의할 수 있다. 위의 식에서 비례상수 μ를 유체의 점성계수(viscosity)라고 부르는데, 전단력은 유체가 관 내부를 흘러갈 때 유체의 유속으로 인한 관 벽에 생긴 마찰저항력을 관 단면적에 대해 고려한 값이다. 결국 이 마찰저항력은 유속에 비례하고 관 단면적에 반비례하는데 이를 전단율 또는 전단응력의 개념으로 사용하고자 표현한 것이다.

다음의 Fig. 5의 결과는 1.0 mm의 토사 입자를 고려하였을 때 관 벽에서의 전단유속의 분포를 대표 나열하였다. 해석과정동안 관 저면에서 수렴된 변화 값을 갖는 것을 볼 수 있으며 관 벽으로부터 일정 거리 이격된 이상에서는 전단유속의 변화가 없어 결국 전단마찰이 관 저면에서 강하게 작용하지만 관 중심부까지는 미치지 않음을 가리킨다.

Fig. 5.

Shear Velocity Representative Result of 1.0 mm Diameter Soil Slurry

본 연구에서는 수치해석 결과를 활용하여 관 저면의 얇은 층에 대한 전단유속을 산정하였다. 전단유속(u*)과 입자의 침강속도(vs)는 다음의 Eq. (6)으로 정리되며 이어 다음의 Eq. (5)의 관계를 통해 산정이 가능하다.

여기서 ρs-ρ/ρ는 유체 내부에서의 퇴적물의 비중(submerged), ρs는 퇴적물의 밀도(kg/m³), ρ는 물의 밀도(kg/m³), g는 중력가속도(m/s²), dp는 입자의 직경(m) 그리고 CD는 항력계수를 의미한다. 항력계수의 경우 입자의 자유운동정도에 따라 다르지만 일반적으로 난류흐름에서는 0.44에 수렴하는 값을 가지므로 별도의 산정 없이 고정된 값을 취하였다. 위의 Eq. 6을 활용하여 본 연구에서 반영할 입자의 침강속도를 산정하였다. 먼저 입자의 수중단위 중량의 경우 ρS-ρ/ρ1/3 = 약 1.182의 값을 갖는다. 이후 (gdp/CD)에서 입자 크기별로 산정하면 다음의 Table 3과 같다. 그리고 Table 4의 전단유속의 변화구간을 토대로 전체 63개 조건에 대한 전단경계층 검토 결과를 Table 5에 나타내었다.

Table 3.

Settling Velocity by Particle Size

Table 4.

Shear Velocity Result Using Two-phase Flow Analysis

Table 5.

Result of Shear Boundary Layer Using Numerical Analysis Result (v_s / u*)

산정된 결과를 살펴보면 기존의 Raudkivi(1998)가 제안한 결과의 경우 약 2.0 보다 큰 값일 때 대부분의 퇴적물이 관 저면에 침전된 상태를 나타내고 있다. 즉 이송현상이 발생하지 않고 저면에 고착되었음을 가리킨다. 하지만 본 연구에서 고려한 우수관거의 경우 평균적으로 1.0 미만의 값에서 퇴적의 경향성이 두드려지게 나타났다. 이후에 급격한 전단유속의 변화된 값이 0.2∼0.9를 나타낸 것으로 보아 해당 층이 입자의 도약에 따른 이송⋅침전이 반복되는 층으로 구성되었으며 부분적으로 부유 된 퇴적물 이동 현상이 나타났다. 0.2의 값 미만의 값들 사이에는 전단유속의 변화가 잦아들어 결국 현탁상태로 부유하여 흘러가는 것으로 나타났다. 결과를 종합하여 관 내부 전단유속을 활용하여 경계층을 형성에 대한 기준을 Table 6에 수식적으로 표현하였다. 결국 우수관로 내부 슬러리의 흐름특성에 대하여 전단유속(u*)와 침강속도(vs)의 값을 사용하여 하상에서의 입자의 이송과 정지 상태를 쉽게 구분할 수 있는 지표가 되며, 입자별 이송에 따른 경계층의 예측이 가능하다.

Table 6.

Classification of Sediment Boundary Layer (In this study)

본 연구에서 제안된 결과는 우수관거로 유입되는 다양한 유입 조건에 대한 해석결과를 토대로 추정하였다. 입자의 크기를 주요 매개변수로 하여 침강속도를 반영하였기 때문에 관 내 침전층에서의 침전물 이동 현상을 나열하였다. 본 연구에서 제안한 경계층 검토 연구의 주된 이점은 토사 슬러리가 낮은 체적농도 조건에서도 이송을 위한 경계층의 두께를 예측할 수 있을 뿐만 아니라 다량의 토사 슬러리가 이송되는 높은 체적농도의 조건에서도 이송과정에 따른 경계층을 예측할 수 있다는 것이다. 더불어 기존 제안식들이 갖는 하천에서의 값과 달리 우수관거에 적용할 수 있다는 특징을 갖는다. 이후에도 개선된 연구를 통해 본 연구에서 제안한 경계층 모델과 실제 우수관 내부에서 나타나는 현상을 계측을 통해 오차를 비교 할 경우 보다 합리적인 연구방법이 될 것으로 판단된다.