3.1.1 Food and Agriculture Organization Penman-Monteith(FAO-PM)

기존의 국가에서는 각 나라의 환경에 맞는 다양한 경험식 등을 이용하여 증발산량을 산정해왔으며, 증발산량의 기준이 정해지지 않았다. 따라서 Food and Agriculture Organization Irrigation and Drainage paper No. 56(FAO 56) (Allen et al., 1998)에서 소개된 증발산량 산정식인 Penman-Monteith 방정식은 기존에 사용되던 다양한 증발산량 공식에 대한 검정을 통하여 활용성을 입증하였으며, 전 세계적으로 에너지 수지와 공기동역학적인 항에 대한 고려를 동시에 포함하고 있다(Allen et al., 1994; Feddes and Lenselink, 1994; Smith, 1992). FAO-PM 방정식은 순복사량, 풍속, 대기온도, 습도 등의 다양한 기상 인자와 더불어 증발을 저해하는 공기동역학적인 저항과 지표면에서의 저항을 고려함으로써 정확한 증발산량을 추정할 수 있다. FAO-PM 방정식은 아래의 Eq. (1)을 통해서 산정할 수 있다.

여기서, ET₀는 기준 증발산량(mm/h), ET_a는 실제 증발산, ET₀는 잠재 증발산k_c는 작물계수를 나타낸다. Δ는 포화증기압과 온도 간의 곡선에서의 경사(kPa/°C), R_N은 순 복사에너지(MJ/m²/hr), γ는 Psychrometric 상수(kPa/°C), T는 평균온도(°C), u₂는 지상으로부터 2 m에서 측정된 평균풍속(m/s), e_s는 포화수증기압(kPa), e_a는 실제 수증기압(kPa)로 (e_s−e_a)는 포차(kPa)를 나타낸다. 이러한 식을 통해 산정된 기준증발산은 기준 작물에 수분의 공급에 제한이 없는 상황에서 산정된 기준증발산량(reference evapotranspiration)을 의미한다. 그러나 플럭스 타워에서 관측된 증발산량은 실제 관측지역에서의 수분 공급 및 주변 환경을 고려하여 산정된 실제증발산량(actual evapotranspiration)이다. 따라서 플럭스 타워 기반 증발산량의 결측 구간을 매우기 위한 대체 증발산으로 이용하기 위해서는 FAO-PM 공식을 통해 산정된 기준 증발산량을 실제 증발산량으로 변환할 필요가 있다. 플럭스 타워에서 수집된 각각의 시점의 실제 증발산 값을 FAO-PM공식에 의해 구한 기준증발산 값의 비를 구한 후 작물계수(crop coefficient, Kc)의 범위(0.05∼2)를 고려하여 작물 계수를 산정하고 이를 기준증발산량에 곱하여 실제증발산량을 Eq. (2)와 같이 산정하였다.

3.1.2 평균 일변동 (Mean Diurnal Variation, MDV)

MDV 방법은 gap-filling을 수행하는 대표적인 방법 중 하나로써, 에너지 플럭스 및 이와 연관 있는 기상인자의 일변화의 경향을 이용하여 결측 자료에 대한 증발산량의 추정을 수행하는 방법이다(Kato et al., 2006). MDV의 산정원리는 인접한 전후 시점의 값들을 평균하여 결측된 시점의 값을 보완/산정하는 방법으로 임의의 시점에서 경향은 그 전후 시점의 경향과 비슷하다는 가정을 전제로 한다(Moffat et al., 2007). MDV 방법은 앞에서 사용한 FAO-PM 방법보다 기상인자에 대한 고려가 부족하여 급격한 기후 조건의 변화가 있을 경우에 모의된 증발산량을 대표하기 어렵다는 점에서 한계를 가지고 있다. 그렇지만, 증발산량 계산에 필요한 다른 기상 자료가 없을 경우에 결측 구간 전후의 증발산량만으로도 대체 증발산량을 추정하는데 용이하고 다른 방법들에 비해 계산소요 시간이 적다는 장점을 가지고 있다(Falge et al., 2001).

MDV방법을 수행하는 데에 있어서 신빙성 있는 증발산량 자료를 모의하기 위해서는 window size를 결정하는 것이다. Fig. 2와 같이 window size는 결측 자료의 보충을 위해 인접한 날에서의 증발산량에 대한 평균을 구하는 과정에 포함되는 자료의 개수라고 할 수 있다. 일반적으로 window size는 4일에서 15일 정도의 간격을 많이 사용되고 있으나(Alavi et al., 2006), window size를 크게 설정하면 증발산량에 대한 신뢰성이 떨어질 수 있다. 특히, 여름철의 국지성 호우, 장마, 태풍 및 겨울의 대설기간처럼 인접한 증발산량이 모두 결측 된다면, 이 기간 동안의 증발산량을 모의하는데 어려움이 있다. 이와 반대로 너무 작은 window size를 설정하게 되면 근시안적인 접근이 되어 증발산량에 대한 전체적인 일변화 경향성을 고려하지 못하게 된다. 따라서 본 연구에 적용하기 위해 Baldocchi et al. (2001)에서 권장한 window size 6을 기본으로 하였다.

Fig. 2

Conceptual Diagram of MDV for Defineing Window Size.

3.1.3 칼만 필터(Kalman filter)

Kalman filter는 재귀알고리즘의 하나로 오차를 포함하고 있는 관측 값에 대하여 가장 최적의 추정량(optimal estimation)을 도출해내는 반복적인 알고리즘을 의미한다(Fig. 3). 기본적으로 칼만 필터에는 두 가지 가정 사항이 내포되어 있다. 우선, 알고리즘 내의 시스템은 선형성을 띄고 있다고 가정하고 있으며, 관측 값과 시스템은 각각 정규 분포를 따르는 오차를 포함하고 있다. 이러한 가정 사항을 토대로 초기 입력 정보를 토대로 미지의 상태를 추정하고, 이를 바탕으로 오차 공분산 및 칼만 이득의 개념을 활용하여 최적의 예측 값을 산출한다(Yoo et al., 2012).

Fig. 3

Process Flow Diagram of Kalman Filter Algorithm.

Kalman filter에는 대표적으로 상태-시스템 모델인 ARIMA(Autoregressive integrated moving average) 모델을 사용하며 p차 자기회귀모형(Autoregressive Model, AR(p))과 q차 이동 평균 모형(Moving average model, MA(q))이 결합된 모형을 ARMA(p, q)라고 한다. ARMA(p, q) 모델의 식은 Eq. (3)과 같다.

여기서, 우측 첫 번째 항은 AR 모형을 반영하고, 두 번째 항은 MA 모형의 특성을 갖으며 Y_t는 몇 차 시계열, α, β는 추정값 계산에 사용하는 가중치, w_t는 평균이 0, 분산이 σ²인 백색 잡음이다.

본 연구에서는 상태-시스템 모델로 1차 자기회기모형인 AR(1)을 사용하여 관측 방정식과 상태 방정식을 Eq. (4) 나타내었으며, 오차 공분산을 예측하는 식은 Eq. (5)와 같다.

여기서, x^−은 예측값, A는 시계열 AR(1) 모형으로 인해 산정된 상태변수, Q는 시스템 변수, 그리고 P_t은 예측오차 공분산을 나타낸다. 이 단계에서는 직전 단계에서의 추정 값과 오차 공분산값을 입력 자료로 받아서 공분산과 예측 값을 산정하게 된다. 이 단계에서 구해진 오차 공분산값은 칼만 이득(Kalman gain)을 계산하는데 사용되어 진다. 칼만 이득은 추정 값의 오차를 최소화하는 역할을 하며 위의 단계에서 계산된 관측 오차의 공분산을 통해 계산되어진다. 칼만 이득은 알고리즘이 반복됨에 따라 새롭게 계산되어 짐으로써 추정 값을 계산하는 가중치를 매번 다시 조정해 주는 역할을 수행하기도 한다. 이러한 칼만 이득은 Eq. (6)을 통해 산정할 수 있다. 위의 단계에서 계산된 칼만 이득을 통해 구하고자 하는 최종 추정 값을 산출하고 오차 공분산 값을 재산정하며, Eqs. (7) 과 (8)로 나타낼 수 있다.

여기서, k_t는 칼만이득, R은 관측 오차의 공분산, H는 단위 행렬, P_t는 예측오차 공분산이며 x^ 과 z_t는 각각 예측값과 관측값을 나타낸다. Eqs. (7)과 (8)은 다시 Eqs. (4)와 (5)로 회귀 하여 반복적인 알고리즘을 구축할 수 있게 된다.

본 연구에서는 기상조건을 잘 반영한 FAO와 경향을 잘 반영하는 MDV방법의 평균을 예측과정에 필요한 시스템 모델인 AR(1)으로 설정하였다. 또한 시스템을 모의하는 시간은 3일을 설정하였으며, 그 이유는 장기간 모의할 경우 데이터가 평준화 되어 급격하게 변하는 값을 반영하기 힘들기 때문이다. 측정값으로는 불량 자료가 제거된 L1 자료를 사용하였으며, 결측 구간이 있을 경우 Kalman filter에서 모의가 되지 않는다. 이러한 문제를 보완하기 위해서 FAO-PM과 MDV 방법을 통해서 산출된 증발산값의 평균을 구하여 측정값의 결측 구간을 채우는 방법을 이용하였다.

4.1.1 KoFlux를 이용하여 산정된 L1 자료의 검증 및 분석

설마천과 청미천 유역의 플럭스 타워에서 관측된 원시 자료 데이터를 KoFlux 표준화 프로그램으로 표준화된 L1 자료와 비교하였다. Fig. 4에서 확인할 수 있듯이, SMC의 5월 3일은 강우가 발생함에 따라서 원시자료의 변동성이 급격하게 변동하였으며, 다른 날에 대해서도 변동성이 심한 것을 확인 할 수 있다.

Fig. 4

Comparison of Raw Data and L1.

특히 5월 3일의 경우 ‘d’의 영향이 4가 넘기 때문에 spike 값으로 정의되어 결측치가 발생하는 것을 볼 수 있다. 다른 날의 경우에서도 변동성이 생기지만 ‘d’의 값이 4를 넘지 않아 알고리즘에 의해서 보완된 것으로 나타났다.

Table 2에서 SMC와 CMC의 평균 bias는 각각 3.43 W/m²와 1.84 W/m²로 나타났으며, 평균 RMSE는 각각 70.20 W/m²와 16.44 W/m²로 나타났다. SMC의 데이터의 통계 결과가 CMC보다 불확실성을 가지는 이유는 아래와 같은 문제들을 통해서 설명할 수 있다. 지형적 특성 및 분포 식생의 차이에 따른 결과로, SMC은 산지 중턱 협곡에 위치한 혼합림 지역에 설치된 플럭스이며, 식생의 높이(canopy height), 식생의 균질성 및 플럭스 타워의 위치에 따라 반사되는 열적 및 광학적 복사량 영향에 따라 증발산량의 품질에 큰 영향을 미친다고 판단할 수 있다(Baik and Choi, 2015a, b). 또한, 지표의 경사도가 존재함에 따라 불완전한 난류장이 발생할 확률이 높은 SMC는 CMC에 비해 불량 자료가 관측될 가능성이 더욱 높기 때문이다. CMC보다 많은 불확실성을 가지고 있는 SMC는 이산되는 빈도가 높아짐에 따라서 Koflux 표준화 프로그램을 이용한 불량 자료의 처리가 많아지게 된다. 따라서 보정이 많이 이뤄지며, d 값이 4가 넘어가는 구간이 길어짐에 따라서 자료손실 또한 장기화되어진다. 이러한 자료손실이 생긴 L1자료에 gap-filing 작업을 FAO-PM, MDV, Kalman filter를 토대로 시행하였다.

Table 2

Statistical Results of a Comparison between L0 and L1 in 2015.

4.1.2 FAO-PM와 L1 자료의 검증 및 분석

FAO-PM 방법을 통해 산정되는 증발산량의 경우에는 기준 증발산량이기 때문에 플럭스 타워에서 관측된 증발산량이 실제 증발산량으로 사용되기 위해서는 변환 과정이 필수적이다. 위에서 소개한 작물 계수의 범위에 근거하여 K_c값을 산정하여 Fig. 5에 나타내었으며, 기존 FAO에서 제시된 K_c와 비슷한 경향을 나타내는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 5

Crop Coefficient in 2015.

특히, CMC의 5월부터 6월은 K_c가 낮게 산출되었으며, 이는 CMC에서 강수량의 부족으로 기준 증발산과 생장 단계, 기후 조건, 토양에서의 증발 조건 및 작물의 종류를 반영한 실제 증발산의 비율로 산정한 K_c에 반영되었다고 볼 수 있다(Pereira et al., 2015).

Fig. 6은 SMC와 CMC에서 FAO-PM 방법과 L1 자료의 시계열을 나타낸 것으로, SMC와 CMC 두 지역 모두 경향성은 일치하는 것을 확인할 수 있다. SMC의 경우에 gap-filling처리한 후에도 L1 자료의 변동성이 심해 FAO-PM과의 값의 차이가 일부 존재하지만, 두 자료 모두 유사한 경향을 나타내는 것을 확인할 수 있었다. Table 3에 나타낸 FAO-PM 방법의 통계적인 결과를 나타내었다. SMC와 CMC의 평균 bias는 각각 -4.11 W/m²와 3.19 W/m²로 나타났으며, CMC에서는 FAO-PM을 통해 산정된 대체 증발산량 값이 평균적으로 과대 산정된 반면에 SMC에서는 전반적으로 과소 산정된 것을 파악할 수 있다. 평균 RMSE는 각각 51.87 W/m²와 30.98 W/m²로 이는, 관측 장치의 한계점을 보여준다. 관측 장치 주변 지표면의 경사가 거의 없고 균질적인 식생 상태를 가지고 있어야 하며, 완전한 난류장의 형성을 위해서는 난류장 형성을 저해하는 주변 방해물이 존재하지 않아야 한다. 따라서, SMC에 비해 CMC에서 좋은 통계 결과가 산출된 것으로 판단할 수 있다. 특히, SMC 유역에서는 상대적으로 강수량이 많이 발생한 7월과 8월에 높은 RMSE와 과소 산정된 bias로 현저하게 불확실성이 높아진 것을 확인할 수 있다. CMC에서 다른 달에 비해 4, 5, 8월에 불확실성이 높아진 이유는 계절이 변하면서 Kc의 불확실성이 높아졌기 때문으로 보인다.

Fig. 6

Comparison of L1 and FAO-PM.

Table 3

Statistical Results of a Comparison between L1 and FAO-PM in 2015.

4.1.3 MDV와 L1 자료의 검증 및 분석

Fig. 7는 MDV 방법을 이용하여 산정된 증발산값과 L1자료를 통해 시계열(5월 1일 ∼ 5월 10일)을 나타내었다. SMC와 CMC 모두 MDV와 L1사이의 유사한 경향성이 나타나는 것을 확인할 수 있다. 전반적으로 LE의 패턴은 비슷하나, 기상 인자의 영향이 아닌 이전 또는 이후에 관측된 자료를 기초로 산정한 통계적인 식이므로, CMC의 5월 1일에서는 과소 산정이 되었으며, 5월 3일에서는 과대 산정이 되었다. 이러한 결과는 주변 환경으로 인해 급변하는 LE에 대해 정확성이 부족한 것으로 확인된다.

Fig. 7

Comparison of L1 and MDV.

Table 4는 SMC와 CMC에서 MDV 기반 대체 증발산량의 통계학적 검증 결과를 정리한 것이다. SMC에서는 8월 달에 가장 높은 RMSE 값인 119.23 W/m² 값을 나타내었으며 CMC에서는 6월 달에 가장 높은 RMSE 값인 79.94 W/m²로 나타났다. 이렇게 여름철에 MDV의 방법의 오차가 커지는 이유는 여름철에 급변하는 기후적 조건을 반영하지 못하기 때문에 전반적인 값이 평균으로부터 많이 산포되어있음을 확인할 수 있다. 그러나 SMC 처럼 유효한 범위 내에서의 작은 변동성이 있는 경우 MDV 방법이 증발산량의 거동을 비교적 합리적인 산정을 하는 것으로 보인다.

Table 4

Statistical Results of a Comparison between L1 and MDV in 2015.

4.1.4 Kalman filter와 L1 자료의 검증 및 분석

Fig. 8은 L1 자료와 Kalman filter의 시계열을 나타낸 그림이며 FAO-PM과 MDV의 경향과 같이 Kalman filter도 L1과 경향이 비슷하게 잘 나타났다. 특히, CMC 5월 3일에서 MDV와 달리 경향을 잘 산출했으며, 이 결과는 시스템 모델에서의 관측치를 FAO-PM과 MDV의 평균을 하여 입력하기 때문에 FAO-PM의 물리식의 영향으로 인하여 급변하는 기상인자를 잘 고려하는 것을 나타났다.

Fig. 8

Comparison of L1 and Kalman Filter.

Table 5 에서 나타낸 통계학적 결과를 확인하면, SMC와 CMC의 평균 bias는 각각 -0.93 W/m²와 -6.24 W/m²로 나타났으며, 평균 RMSE는 각각 29.29 W/m²와 31.49 W/m²로 나타났다. SMC는 3월, 7월, 8월을 제외한 달에서는 L1 값에 비해 과소 산정이 되었으며, CMC는 모든 기간 동안에서 과소 산정된 것으로 확인 되었지만 유효한 범위 내에서 잘 모의된 것으로 보여 진다. 이러한 이유는 Kalman filter의 AR(1) 모형의 시계열 상수인 a 값과 시스템 모델의 오차 값인 시스템 변수 Q값이 실시간으로 산정함에 따라 이에 영향을 받는 오차 공분산 P와 칼만 이득값 K 또한 현재 시간에서 전 시간의 영향을 고려하여 산정된다. K 값의 경우 현재 시간에 대해서 보다 잘 산정할 수 있도록 전에 모의된 부분의 오차를 통해서 산정된 것을 보안하여 산출 값의 정확도 향상에 더욱 높은 기여를 했다고 볼 수 있다.

Table 5

Statistical Results of a Comparison between L1 and Kalman Filter in 2015.